２次関数　最小最大の利用

問題　 直角を挟む２辺の和が２０ｃｍの直角三角形を作る。その斜辺が最小のとき２辺のそれぞれの長さはどうすればよいか。 ｘを使った二辺の長さはわかりました。 解説を見ると次に斜辺の二乗をｙとしていたのですが、なぜわざわざ二乗にしたのかがわかりません。 公式当てはめて計算するもののようですが、公式の成り立ちを理解していないので二次関数の問題だと知らなければ気づけません。 このような文章問題でまず公式を思いつくにはどうすればいいですか？

おはようございます。 そうですね、斜辺の２乗をｙと置くのは不自然ですね。別に２乗にしなくても大丈夫なのですが、きっと解答を書いた人が「関数は ≪ｙ＝ ≫ の形の方がいい」と思ったのではないかと思います。直角三角形の辺の話なので三平方の定理を利用する、そのとき斜辺の長さそのものではなく、２乗したものをｘの関数とかんがえればきれいな関数の形になるから、と思ったのでしょう。斜辺の長さそのものをｙとし、ｙがｘの関数だとすると式は $ y= \sqrt{x^2+(20-x)^2 } $ となっていやな感じだったのでしょう。 別に斜辺の２乗をｙとせず、斜辺の長さそのものをｙと置いたって大丈夫です。ただし、「ｙはｘの関数、$ y=f(x) $　」の形にはなりませんが。以下、答案です。 【解答】 斜辺の長さをｙ、他の１辺の長さをｘとすると、残りの辺は（２０－ｘ）。このとき $ y^2 = x^2 + (20-x)^2 =2x^2-40x+400 = 2(x-10)^2 +200 $　←平方完成 よってx=10のとき $ y^2 $ は最小になる。この時ｙも最小となる。 よって２辺はともに１０ｃｍにすればよい。 (終わり） さて、あなたが言っている公式はどんな公式をいっているのかわかりませんが、いわゆる公式としては三平方の定理くらいしか使いません。平方完成は２次式が出てきたときにはよく使う、いわばテクニックです。 これで大丈夫ですか？返事など、コメント欄で反応してください。