関数

解き方を教えてください

sさん、こんばんは。もう常連さんですね！ やり方を説明するのは簡単ですが、なぜそれで求まるのかまで理解してほしいので、たぶん長ったらしい説明になります。 まずノートに $ x^2+y^2=4 , x ≧ 0 , y ≧0 $ …①の図形を書いてください。 これは半径が２の円の第１象限にある部分、円の $\frac{1}{4}$ ですね。 この図形に乗っている点のｘ座標、ｙ座標は$ x^2+y^2=4 , x ≧ 0 , y ≧0 $ を満たしています。 また、たとえば直線 $ y=-2x+10 $ （これは $ 2x+y=10 $ を変形して直線の方程式の形にしたもの）に乗っている点のｘ座標、ｙ座標は $ 2x+y=10 $ を満たしています。 もしこの直線が先ほど書いた図形と交わっていたら、その交点のｘ座標、ｙ座標を使って$ 2x+y $ を計算すれば10になる、ということです。 でも、直線 $ y=-2x+10 $ の略図を書き加えてみると、①の図形とは交わりません。ということは、①の上のどんな点も$ 2x+y $ を計算しても10にはなれない、ということです。 そこで次に直線 $ y=-2x+9 $ のグラフを書いてみても、やはり交わりそうにありません。傾きー２の直線をもっと下げていけば、①と接するようになります。その時の直線のｙ切片（y軸との交点）がｋだとすると、それが $ 2x+y $ の最大値です。傾きー２の直線のｙ切片をそれより少しでも上げてｋ’とすると、①の点では$ 2x+y $ の値はｋ’とはなれないのです。 よって、直線$ 2x+y=k $ が①と接するようなｋの値が最大値です。 じゃ、傾きー２の直線をもっと下げていったらどうでしょうか。しばらくは①と交わるので、交点のｘ座標、ｙ座標を使って$ 2x+y $ を計算すればそのときの直線のｙ切片の値は実現できます。もっと下げていったら…。直線が点(0,2)を通った時が最後で、それより下げるともう交点はなくなります。その直線のｙ切片の値は作れません。よって最小になるｙ切片の値は２。これが$ 2x+y $ の最小値。 最小値はグラフからわかったので、あとは直線$ 2x+y=k $　すなわち直線 $y=-2x+k$ が円と接するようなｋの値を求めれば最大値ｋが求まります。これは直線と円の共有点を求めるときのように連立させて、ｘの２次方程式になるので、接する＝判別式が０、でいけますね。 (2)　は、図形が直線ではなく、双曲線 $xy=k$ すなわち $y=\dfrac{k}{x}$ に変わっただけで、この双曲線が①と共有点をもつような最大のｋを求めます。双曲線はｋの値が大きくなると原点から遠ざかりますので、もっとも大きくなれるのは円と双曲線が接するとき。連立させて整理すると $x$の４次方程式になりますが、 $ x^2=X$ と置き換えて２次方程式にして、判別式＝０になるｋを求める。$k= \pm 2$ となりますが、最大値ですから２。 (3)　これは座標から離れて、２円の位置関係から求めればいいです（式でやったら大変！）。 内接する場合と外接する場合の略図を書いて、 「２円の半径をｒ、ｒ’とする。また中心間の距離をｄとする。２円が内接するときはｒ－ｒ’＝ｄ、外接するときはｒ＋ｒ’＝ｄ」を使い、①のほうはｒ＝２。いまから考える円の半径をｒ’とすると、その中心は４５°の傾きの直線上にあるから原点から中心までの距離は $ \sqrt{2} r'$ 。 内接の場合、$ 2-r' = \sqrt{2} r' $　よりｒ’がもとまる。 外接の場合、$ 2+r' = \sqrt{2} r' $　よりｒ’が求まる。 長～くなりましたが、読んでください。 これで大丈夫ですか？ちょっと説明不足かな？コメント欄にお願いします。