x⁷=1

x⁷=1について自分で解いたら次のようになりました x⁷=1 0=x⁷-1 0=(x-1)(x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1) よってx-1=0, x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1=0 (Ⅰ) x-1=0 x=1 (Ⅱ) x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1=0において x=0のとき1=0となり不適 よってx≠0, x³≠0 0=x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1 0=x³+x²+x+1+1/x+1/x²+1/x³ 0=(x³+1/x³)+(x²+1/x²)+(x+1/x) ここでX=x+1/xとする 0=(X³-3x-3/x)+(X²-2)+X 0=(X³-3X)+(X²-2)+X 0=X³+X²-2X-2 0=(X+1)(X²-2) よってX+1=0, X²-2=0 (ⅰ) 0=X+1 0=x+1+1/x 0=x²+x+1 ２次方程式の解の公式より x=(-1±√3i)/2 (ⅱ) 0=X²-2 0=(x+1/x)²-2 0=x²+1/x² 0=x⁴+1 x⁴=-1 x²=i x=±√i ここで√i=a+bi (a,bは実数)とおく √i=a+bi i=a²+2abi-b² 0=(a²-b²)+(2ab-1)i よって 0=a²-b²…①, 0=2ab-1…② ① 0=a²-b² 0=(a+b)(a-b) よってa=±b a=bのとき ②に代入して 0=2b²-1 1=2b² 1/2=b² b=±(√2)/2 そしてa=±(√2)/2 a=-bのとき ②に代入して 0=-b²-1 -1=b² b=±i そしてa=±i これはa,bが実数であることに反するため不適 よってa=b=±(√2)/2 ±√i=x=±(√2)/2±(√2)/2i (複号同順) (Ⅰ),(Ⅱ)より x=1, (-1±√3i)/2, ±(√2)/2±(√2)/2i (複号同順) 解が5つしか求まっていないので間違えていると思います。間違えているところ、そもそも複素数平面を使わずに（？）因数分解などのみで解けるのかどうか教えてください（インターネットでx⁷=1について調べると複素数平面を使った解法しか見つけられなかったので）。

こんにちは。 上から見ていったら、大文字のXに置き換える直前の式で、その上にあった1がなくなっちゃってます。Xの３次方程式が変わってきます。