絶対値

|x|が、x<0のとき、|x|=-x ということですが、その導き方として「マイナスのときは-１倍する」とあります。 けれども、実数の、例えば「-７」ならば、その絶対値は「7」になりますよね？ それならば、もしxが -7だと仮定したら、その絶対値は7なのですから、それをxに置き換えるとマイナス符号がないxにならないのですか？ この論理が理解できません。ご教示をおねがいします。

おはようございます。 ｘ＝ー７のとき、あなたは｜ｘ｜＝マイナス符号がないx　と答えます？ このあたりに疑問を持つ人は多いです。 確かに｜ー７｜＝７ですから、「マイナスの記号をとればいい」とも言えますが、どうしても取れない場合があります。それは数が文字であらわされている場合です。数学で使う文字って、たいていの場合はいろいろな数の代わりに使います。たとえばａは場面によって３であったりー９であったり、√２であったり、１－√５だったり。そういういろんな値を持つ可能性のある文字aについて、｜a｜と書かれたらどう表せばいいのか？a=3のときは|a|＝３，a=-9のときは|a|=９，a=√２のときは|a|=√２，a=１－√５のときは|a|=√５－１という風に具体的に書けますが、さて、中味がわからない状態で、あるいは中味が変化するようなとき、|a|をどのように答えたらいいか。aが正の場合は問題なく|a|=aです。でもaが負の数のときはどう書けばいいか。 ここで、７ってー（ー７）と書いてもいいじゃない。マイナスの数にマイナスを付けるとプラスになるのだから。マイナスを付けるって数学的にいうとー１をかけることですね。a=-9のとき、|a|=-a＝-(-9)＝９、これで正しいですね。これがー９はそのまま使ってマイナスの符号を取る方法です。a=1ー√５は負の値だから|a|=-a=-(1-√5)=-1+√５（＝√５ー１）でただしいですよね。aの値がマイナスの場合は|a|=-aと書いておけばちゃんと正の値になってくれます。 そういうわけで 　　　$ |a| = \begin{cases} a 　　(a≧0のとき) \\ -a 　　(a＜0のとき) \end{cases} $ と書いておけば、aの値が何であっても正しいです！ マイナス１をかける、でもいいし、前にマイナスの記号をつける、でも大丈夫です これでどうでしょうか？ わかったとか、まだこのへんがわからないとか、反論とか、コメント欄にお願いします。