高校数学

最小値が解答と違います。（解答は2分の3）どこが違いますか。

おはようございます。 私は夜１１時閉店なもので、それ以降は次の日の回答になってしまいます。ゴメンナサイ。 ７行目から８行目に移るのがまちがっています。 sinの関数は増加関数ではなく、周期関数ですから、角度が増えればsinの値も増える、というのは間違いですから８行目の不等式は正しくありません。サインのグラフを考えてみてください。 あなたが書いた　$ \alpha ≦ 2x+ \alpha ≦ \dfrac{\pi}{2} + \alpha $ の範囲の中に $\dfrac{\pi}{2} $ が入っていますので、 $2x+ \alpha = \dfrac{\pi}{2} $ のときが最大値 $ \dfrac {\sqrt{5}}{2} \sin { \dfrac{\pi}{2}} +1=\dfrac {\sqrt{5}}{2} +1 $ 、 最小値はちょっと考えが必要です。サインのグラフから角$2x+ \alpha $ が$\dfrac{\pi}{2} $のとき最大値１で、その両側で値は減ります。 $\dfrac{\pi}{2} $ から遠い方の端で最小値になります。さて、$ \alpha $　と　$ \dfrac{\pi}{2} + \alpha $ のどちらの方が $\dfrac{\pi}{2} $ から遠い方の端でしょうか。 それは $ \sin \alpha$ も $ \cos \alpha $ も正ですから $\alpha$ は第１象限の角。また$ \sin \alpha ＞ \cos \alpha $　ですから、 $ \dfrac{\pi}{4} ＜ \alpha ＜ \dfrac{\pi}{2} $ 。 よって、$ \dfrac{\pi}{2} + \alpha $ のほうが$\dfrac{\pi}{2} $ から離れているので、そこでｙは最小値を取ります。 最小値は $\dfrac {\sqrt{5}}{2} \sin { \left(\dfrac{\pi}{2}+ \alpha \right)} +1=\dfrac {\sqrt{5}}{2} \cos \alpha +1= \dfrac{1}{2} +1 = \dfrac{3}{2}$ これでわかりますか？遅かったのでもうわかっていたかな？ いずれにしても、わかったとか、このへんがまだよくわからんとか、を、コメント欄に書いてください。反応がないと、読んでくれたのかどうか、役に立ったのかどうかがわかりません。回答者のためにもぜひコメントをひとこと。よろしく。