数II

手も足も出ません。どなたか教えてください。

こんばんは。お待たせしました。 手も足も出ないとは！それは困りましたね。 普通に考えれば、円$x^2+y^2=9$ と 直線 $2x+y+1=0 $ の２交点を求めて、その両方の点からの距離が５である点を見つければそれが $ (a,b) $ なのですが、計算がけっこう大変ですね。あれこれ考えれば、もう一つの円の中心は直線 $ y=\frac{1}{2} x$ 上にあることがわかったり、垂直２等分線とかあれこれ工夫はできますが、やはり計算が大変なようです。 で、一番（？）速いやりかたは、２円の共有点を通る直線を求める公式を使うことです。 公式：２円 $ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 , (x-a')^2+(y-b')^2=r'^2 $ の共有点を通る直線の方程式は 　　　$ \left( (x-a)^2+(y-b)^2 \right) -\left( (x-a')^2+(y-b')^2 \right) = r^2-r'^2 $ である！ 公式：２円 $ x^2+y^2+kx+ly+m=0 , x^2+y^2+k'x+l'y+m'=0 $ の共有点を通る直線の方程式は 　　　$ \left( x^2+y^2+kx+ly+m \right) - \left( x^2+y^2+k'x+l'y+m' \right) =0 $ である！！ これは２つの図形 $ f(x,y)=0 , g(x,y)=0 $が共有点を持つならば、方程式 $f(x,y)+kg(x,y)=0 $ の表す図形はその共有点を通る、ということの応用です。教科書には出ていないかもしれませんが、ちょっとした参考書には説明が書いてあると思います。見つからなければ、「２円の交点を通る直線」で検索するとか、たとえば　https://mathtext.info/blog/2021/05/13/enkotensiki/　などを見るといいです。 以下、質問の回答です ２円を順に①②とします。①ー②を辺々計算して整理すると $2ax+2by-a^2-b^2+16=0 $ …③。 この式が直線 $2x+y+1=0$ を表すから、 $ 2a:2b=2:1 $ より $a=2b $ 。これを③に代入して整理してから $2b$ で割ると、 $ 2x+y+ \dfrac{-5b^2+16}{2b} =0 $ 。よって$ \dfrac{-5b^2+16}{2b} =1 $ 。これを分母を払って２次方程式を解けば、 $ b=-2,\frac{8}{5} $ 。$ a=2b>0 $ だから$b>0$ 。よって　$b=\frac{8}{5} $ 。$ a=\frac{16}{5} $ 。 よって $a+b=\dfrac{24}{5} $ 計算間違いは得意なので、もし答が違っていたら言ってください。見直します。 これでわかりますか？ わかったとか、このあたりがよくわからんとか、コメント欄に書いてください。反応がないと、読んでくれたのかどうか、役に立ったのかどうかがわからず、心配ですので。よろしく！