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数学III 極限
(2)において、√n -1<[√n]=<√nではさみうちの原理を用いたのですが、
はさみうちの原理って閉区間でしか成り立たないのでは無いですか？(大小関係の左側の<が分かりません。)
収束すると4/3になりましたが、仕組みを分かっていないようで、、、
解答よろしくお願いします。
回答
こんばんは。
「はさみうちの原理って閉区間でしか成り立たないのでは無いですか」って？
「閉区間」というのはちょっと違うかもしれないけれど、「両側とも等号が入った不等号でないと挟み撃ちの原理が使えないのでは」という質問ですか？
そんなことはありません。両側とも等号なしの不等号だって、左辺と右辺の極限が一致すれば、挟まれた中の項も同じ値に収束せざるを得ない、ということですから。あくまでも極限であって、その値を取る必要はないです。
また、こんなことも言えます「a<bが成り立つならa≦bも成り立つ」「2<3は正しい→2≦3は正しい」
ガウス記号の定義からは、左の不等号には等号は入りませんが、「入れたって間違った式ではない、ただし等号は成立しないけれど」というふうに考えても大丈夫ですよね。
できればあなたが書いた（２）の解答を見せてください。
これでどうでしょうか？