数列の解き方

二行目から三行目への変形のしかたがわかりません！！

こんばんは。 問題の全体が見えないので何とも言えないですが、普通じゃ思いつかないですよね！ 結果論的には、$(1+\sqrt{2})(2+\sqrt{2})=4+3\sqrt{2} $ ですから、逆に $4+3\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})(2+\sqrt{2}) $ としてやれば２行目から３行目にいきますが。あるいは結果がわかっていれば $ 4+3\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}+2+\sqrt{2}=\sqrt{2}(\sqrt{2}+2)+(2+\sqrt{2})=(2+\sqrt{2})(\sqrt{2}+1) $ というような変形もできますが…ふつうはこんなこと気が付かないでしょう。 ４行目から５行目も同様な変形です。 最後の行へ移るところも、かなりテクニカルです。 この問題が穴埋め形式で、答える式の形が決まっているようなら、そこまで変形するのでしょうが、そうでなければそんな変形せずに２式を足して２で割れば$a_n$ が出ますので、そのままでもいいような気もします。 どなたかがもっと自然な変形を答えてくれればいいのですが。