この問題の解答の間違っている点を指摘してほしいです

＜問題＞ n は自然数とする $ I = \int_{0}^{1} x^2 e^\frac{-x^2}{n^2} dx$　のとき、 $ \lim_{n \to \infty} I $　を求めよ ただし、$ t \geqq 0 $ のとき　$ 1-t \leqq e^{-t} \leqq 1$ を用いてもよい ＜解答＞ $$ \begin{aligned} I &= \int_{0}^{1} x^2 e^\frac{-x^2}{n^2} dx \\ &= \int_{0}^{1} x^2 e^{-x^2} e^\frac{1}{n^2} dx \\ &= \int_{0}^{1} te^{-t} e^\frac{1}{n^2} dt \quad (\because x^2 = t と置換) \\ &= e^\frac{1}{n^2} \int_{0}^{1} te^{-t} dt \quad　\\ ここで, 1-t \leqq e^{-t} \leqq 1 より、\\ t(1-t) \leqq te^{-t} \leqq t \\ \int_{0}^{1} t(1-t) dt \leqq \int_{0}^{1} te^{-t} dt \leqq \int_{0}^{1} t dt \\ e^\frac{1}{n^2} \int_{0}^{1} t(1-t) dt \leqq e^\frac{1}{n^2} \int_{0}^{1} te^{-t} dt \leqq e^\frac{1}{n^2} \int_{0}^{1} t dt \\ \end{aligned} $$ ＜質問内容＞ 正しい回答ならば最後の行で両側が同じ値に収束し、はさみうちの原理により求めたい値がわかると思うのですが、両側が違う値に収束してしまいます。この回答の間違っている点を指摘してほしいです。

こんばんは。 読み始めてすぐ、解答の３行目がおかしいと思います。$x^2=t$と置き換えたのなら微分は2xdx=dtですよね。その先はまだ見てませんが。