極限について

極限を習ったのですが、例えば lim_[x->0] x = 0という式の0は、実際に本当の0なのか、それとも0に限りなく近い正の実数なのかどちらでしょうか。 lim_[x->0]という記号の意味としてはｘを限りなく0に近づけるということですから、x /= 0 ですよね？仮に本当の0なのであれば、 f(x) = x の関数は x = 0の時にしか f(x) = 0を取りませんから、矛盾していると思うのですが。一体どういうことなんでしょうか。どなたか説明していただきたいです。

こんにちは。 よくある疑問です！しっかりとらえましょう。 疑問が、→と $lim$ の両方にあるようです。 最後の３行は$lim$の疑問のようです。 →の記号は＝ではなく、あくまでもｘ≠０の状態で０に近づくということです。 あなたは「正の実数」と書いていますがそれは間違いで、正の方から０に近づくときの極限と負の方から０に近づくときの極限が一致しているときに→０と書きます。いずれ習いますが、正の方から近づけるときは→＋０、負の方から近づけるときは→ー０と書きます。→３と書かれたら、→３＋０と→３－０が等しい時に使えます。 $\lim_{x →0} \dfrac{x}{x}=1$ です。ｘ＝０のときは関数値はありません。ｘは０の値はとれません。ここで考えているｘはｘ≠０です。でもｘ→０の極限値はあります。 $\lim_{x →+0} \dfrac{|x|}{x}=1,\lim_{x →-0} \dfrac{|x|}{x}=-1$ ですから、 $\lim_{x →0} \dfrac{|x|}{x}$は存在しません。 後半は$lim$についてのようです。 「 f(x) = x の関数は x = 0の時にしか f(x) = 0を取りませんから矛盾している」と書いていますが、違います。 $lim$は関数値ではないです。f(x→0)みたいに考えないでね。$lim$は限りなく近づく値はこれこれです、という意味の記号です。$f(x)=x$ のとき、$\lim_{x →0} f(x)=0$ というのは、「ｘが（両側から）０に近づくと関数$f(x)=x$ のあたいは限りなく０に近づきますよ、と言っているだけで、ｘ≠０なのに関数値が０か？というふうに考えてはいけないのです。 数学は記号の学問だと言われます。次々に新しい記号が出てきますが、最初に出てきたときに記号の意味するところを正確に頭に入れることがものすごく大切です。あなたのように疑問をしっかり持ってから解決すれば、あいまいな解釈ではなくなると思います。がんばってください。 これで大丈夫ですか？ わかったとか、このへんがまだよくわからんとか、コメント欄に返事を書いてください。それがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかも、役に立ったのかどうかも分かりませんので。よろしく。