平方根の利用

中学生です。 　平方根の利用で、わからない問題があります。√〇nの値が自然数となるような整数nの値のうち、最も小さいnを求めなさいという問題です。（よくある問題ですね） 　答えはn=98です。 　この問題のマーカーを引いた部分がわかりません。この類の問題は、分数になっているとよくわからなくなってしまいます。 　7を√49にしたのは分数全体をルートのなかに入れるためでしょうか。 　この問題はどう考えていいのか、噛み砕いて教えてください。

こんばんは。 分母の７を$\sqrt{49}$ にしたのは、あなたのいうとおりです。ルートの中に入れたかったので。 では噛み砕いていきます！ √ナントカが整数になるためにはまずナントカは整数である必要があります。またナントカを素因数分解したときに、累乗の指数が偶数でなくてはなりません。←これは大丈夫ですか？心配ならコメントで言ってください。 とりあえず、それは分かっているとすると、 $\sqrt{\dfrac{2^3×3^2×n}{49}}$ が整数になるためには約分されて分母が消える必要がある！しかし、２や３では７を約すことはできないので、$n$ の中に素因数として７が２個入っていなければならないなぁ。ま、７が４個でも６個でもいいのだけれど（３個とか５個はだめだ。約分した後７が奇数個残っちゃうから）。最小のｎを考えてるのだから、余計なものは入れないでおこう。$n$ には７という素因数は２個だけあることにしよう。これで√のなかは整数になりました。あとはそれぞれの素数の累乗の指数が偶数になればよい。２は３乗だから少なくともあと１個ほしいところ。だから２は$n$ の中にある必要がある。最低１個あれば偶数乗(４乗）になるから最小の$n$ を求めようとしているのだからそれ以上はいい。３のほうははじめから偶数乗になってるから、もういいだろう。というわけで、$n$ の中には素因数分解したとき、７が２個、２が１個あれば十分。よって$n=7^2×2=98 $ ！！ こんなのでいかがですか？嚙み砕けてたかなぁ？ これで大丈夫ですか？コメント欄に返事を書いてください。