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三角形の内心
この問題のサシス以降がわかりません。
答えは2枚目です。
よろしくお願いします
回答
こんにちは。ずいぶん遅くまでがんばっているのですね！
さて、この出題はわざと面倒にしているように思えます。
順番を変えて、まずADの長さ（BDは∠Bの２等分線だから対辺を５：７に内分する）5/3をもとめ、次に△ABDで余弦定理よりBDの長さを求め、最後にBDの長さ（AIは∠Aの２等分線だから、対辺BDを５：5/3に内分する）を求めれば、それほどの計算量はなくてもできます。
しかし、出題された順で答えようとすると大変です（うまい手があるのかもしれませんがわかりません）。
BIの求め方…cos∠ABCを求め、半角の公式を使って$\sin \frac{B}{2}$ の値を求め、$\sin \frac{B}{2}=\dfrac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{BI}$ よりBIを求めます。
ADの求め方は上と同じ、BDが角の2等分線だからAD:CD=5:7より求まります。
BDは、△ABDで余弦定理を使ってもいいし、上と同様にAIが∠Aの2等分線だからBI:ID=5:5/3で出してもいいし。
けっこう計算が大変かもしれません。
これで大丈夫ですか？コメント欄に返事を書いてください。
（追記: 2023年1月9日9:25）
はじめのやり方の説明の中の「最後にBDの長さ」は書き間違いで、「最後にBIの長さ」です。ごめんなさい。
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半角の公式などについて書きますね。
$\cos{B}=(余弦定理より)=\dfrac{29}{35}$
半角の公式より
$\sin^2{\frac{B}{2}}=\dfrac{1-\cos{B}}{2}=\dfrac{3}{35}$
よって $\sin{\frac{B}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{35}}$
内心I（内接円の中心）からBCに下ろした垂線の足をEとすると
$ \sin{\frac{B}{2}}=\dfrac{IE}{BI}=\dfrac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{BI}$
$BI=\dfrac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\sin{\frac{B}{2}}}=(途中計算略)=\dfrac{\sqrt{70}}{2}$
ということなのですが、めんどうですね！
これで大丈夫ですか？
半角の公式を用いたsinB/2の求め方がイマイチわかりません。よろしければ教えていただきたいです。
こんにちは。上の回答に追記しましたので読んでおいてください。 ではまた。
理解できました！ありがとうございました！