円周角の利用

数学の問題です！ ⑶の②.③について解き方を教えて下さい！ 赤で書いてある数字が答えとなっています。 汚くて申し訳ございません！

こんばんは。 お待たせしました。 これは高校入試問題なのですね。 そうとう難しいのでは？ 高校で学習する２重根号の外し方を使わないとできませんでした。 それを使わないとすると、「え？こんなこと気が付くわけないじゃん！」という解法になります。 あなたが答を書いていてくれたからできた方法です。 模範解答ではないと思います。もっとスッキリした中学数学での解き方があるのかもしれませんが、半日かけても分かりません(泣)。 まず、円の半径は正三角形の高さの2/3ですから $2\sqrt{3}$ です。DO＝AO＝ $2\sqrt{3}$ です。 DOを延長した直線にAから垂線を下ろし、その足をFとします。 ∠OAB=∠OBA=１５°（説明省略しますが） ∠AOF=３０°ですから、△AOFは30-60-90の直角三角形。 AO= $2\sqrt{3}$ より、AF=$\sqrt{3}$ 、OF=３。 これで直角三角形ADFの２辺の長さAF=$\sqrt{3}$ 、DF=BO+OF= $2\sqrt{3}+3$ 。 三平方の定理より、途中省略、$AD^2=24+12\sqrt{3}$ 。 高校数学では $AD=\sqrt{24+12\sqrt{3}}$ としてから外側の根号を外すことを学びますが、中学数学では無理です。 ですからこのあとは無理やりのやり方です。 $AD^2=24+12\sqrt{3}$ $=6\left(4+2\sqrt{3}\right)=6\left(3+2\sqrt{3}+1\right)$ $=6\left( (\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}\cdot 1+1^2\right)$ $=6\left(\sqrt{3}+1\right)^2$ よって $AD=\sqrt{6}\left( \sqrt{3}+1\right)=3\sqrt{2}+\sqrt{6} $ あとは∠DOC=90°であるので $DC=\sqrt{2}OD=2\sqrt{6}$ これで(2)のことがらから $BD=AD-DC=3\sqrt{2}-\sqrt{6} $ ということですが、書かれたものを追うことは中学生でも大丈夫でしょうが、自分でこんな変形を見つけるのは無理ですよね。 とりあえずこの方法はわかりますか？ コメント欄に返事を書いてください。