関数がつねに正である条件

自分で問題を作っていて， 「$x≧0$において関数$y=x^3+x^2-5tx+3$がつねに正であるような定数$t$の値の範囲を求めよ。」 という形になって，普通に解けるかなと思ったのですが，手こずっています。。 $t=1$で$x$軸と接するので，$t≦1$だと思うのですが，うまく示せません。 解き方と，高校数学の範囲で解けるかどうかも教えていただけるとありがたいです。 よろしくお願いします。

こんにちは。 この手の定数（実は変化させる）を含んだ問題は定数（この問題ではｔ）を分離してグラフとの位置関係で調べるのがいいと思います（定石！）。 $x^3+x^2-5tx+3>0 ⇔ \dfrac{x^3+x^2+3}{5x} >t 　(x>0)$　←$5x$　で割るので$x=0$ を除いて$x>0$ で考えます $z=f(x)= \dfrac{x^3+x^2+3}{5x} , z=t$ の２本のグラフをx≧０の範囲で比べて、$z=t$ のほうが下になるようなｔを求めればいいから、まずは$z=f(x)= \dfrac{x^3+x^2+3}{5x}$ のグラフを（微分、増減表)調べ、 x≧０の範囲ではｘ＝１で最小値１をとるので、直線$z=t$ が下にくるには　ｔ＜１　であればよいことがわかります。（あなたはｔ≦１と書いていますが、ｔ＝１ではｘ＝１でｙが０となり、正ではなくなりますので間違いです） ただ、はじめからｘ＝０を除いての答案だから、最後か最初に「ｘ＝０のときｙ＝３となりｔの値に関わらず題意を満たす」というのをいれれば大丈夫でしょう。 これでどうでしょうか？ コメント欄に返事を書いてください。よろしく。