立体(中学内容)

質問させていただくのは、（1）ではなく（2）立体C-PQRSTUの体積を求めよ の方です。 もっと言うと六角形の面積の部分までは問題ないので、高さの出し方についてです。 私は添付した画像（書き足してあるもの）のように四面体をつくり、その高さGHを求めれば良いと考えました。 GQは3√2と分かるので、あとはQHを出そうとしました。そこで私はGIも3√2であろうと仮定し、つまりHを△QITの外心になるとして、確証のないままとりあえず求めてみました。するとQH=QS×2/3（重心なので）=2√3で、高さGHが三平方で√6と求まり正解でした。 正解だったのはいいものの、なぜGIも3√2になるのでしょうか？（なぜHが外心となるのでしょうか） 教えて頂きたいです。 解答も貼っておきます（この方法は理解しました。）

こんにちは。 ２枚目の写真の点の名前でいきます。 書いてないので想像しますが、あなたは四面体G-TQIの頂点Gから面TQIに垂線を下ろしたのでしょね。 そもそもTQ=6,SR=3,QR=3よりQI=６がわかりますし、同様にしてTI=6ですから、△TQIは正三角形。 あれ？質問です。あなたは外心と書いていますが、重心ですよね。まぁ、正三角形だから同じだけれども。 ということはGIも３√２であることが示せればいいのですね。 ＝＝＝＝＝＝追加＝＝＝＝＝＝ ☆示せました。 ACの中点をU,CDの中点をGとします。このとき、四角錐C-ABFD∽四角錐C-UQRGで、四角形ABFDは正方形だから四角形UQRGも正方形。よって∠QRG=９０°。これで△GRIに三平方の定理を用いれば、GI=3√２。 よって、TG＝QG＝IGなので三角錐G-TQIは斜錐ではなく、Gから底面に下ろした垂線の足は正三角形TQIの重心となる。 （う～む、ちょっと雑だなぁ。突っ込まれると心配ですが） これでどうでしょうか？ 中学数学なんですか？ま、解けないことはないけれど。きついですね。