京大理系数学2016　第6問

【問題】 複素数を係数とする2次式 f(x)= x^2 +ax+b に対し，次の条件を考える． (イ) f(x^3) は f(x) で割り切れる． (ロ) f(x) の係数a ，b の少なくとも一方は虚数である． 　この２つの条件 (イ)，(ロ) を同時に満たす2次式をすべて求めよ 下記のyoutubeの解説について、質問させてください。 https://www.youtube.com/watch?v=L66W8QBw8og f(x)=0の解をx=αと置くと、f(α)=0. f(x^3)=f(x)Q(x)　（Q(x):商）より、f(α^3)=f(α)Q(α)=0で、f(x)はα^3を解に持つ. よって、f(α^9)=f(α^3)Q(α^3)=0なので、α^9も解である.ここで、f(x)は二次式より、解は２つ（x=α、α^3）なので、 α＝α^9またはα＝α^3である...として解いていくとあるのですが、 そう考えると、α^27、α^51、、、といったように、α^9以降もf(x^3)=f(x)Q(x)から解となり、x=α、α^3のどちらかに等しいことになると思いました.α^9以降について、その解がα＝α^9またはα^3＝α^9に含まれている確証がもてれば検討の必要はないと思うのですが、 例えば、α^27について、α＝α^27を考えると、α^26=1となり、その解にはα＝α^9またはα^3＝α^9に含まれておらず、かつ（イ）（ロ）を満たすものが存在するように思います。（α=cos(2π/26)+isin(2π/26)、α^3=cos(3*2π/26)+isin(3*2π/26)など） この考え方は間違っているでしょうか？ 他に、下記サイトのようにf(x)の二解をα、βと定義して解いているものもありますが、これらはα^3、β^3までしか考慮しておらず、それ以降（α^9、β^9...）は検討していません。 https://bouseijuku.sakura.ne.jp/2016kyoto-sugaku.pdf これらの内容について検討しなくてもよい根拠を教えていただきたいです。 長文失礼しました。