連立方程式を解く過程の説明がわかりません。

本を読んでいて以下の様な連立方程式を解く過程の説明があったのですが、途中でよくわからなくなってしまいました。 $x^2 + y^2 = 1$ y = tx + t この連立法手式を解く際、 x=-1が一つの解としてわかっており、$t^2 + 1 \neq 0$ の場合、、、 手順1： $x^2 + y^2 = 1$ 手順2： $x^2 + (tx+t)^2 = 1$ 【y = tx + t を代入】 手順3： $x^2 + t^2x^2 + 2t^2x + t^2 = 1$ 【展開】 手順4： $x^2 + t^2x^2 + 2t^2x + t^2 - 1 = 0$ 【1を移項】 手順5： $(t^2 + 1)x^2 + 2t^2x + t^2 - 1 = 0$ 【x^2でくくる】 $t^2 + 1 \neq 0$ だから、これは、xについての二次方程式になる。 二次方程式の解の公式を用いても良いが、x = -1 が、一つの解なので、x+1という因数をくくり出せる。 $(x + 1)・((t^2 + 1)x + (t^2 - 1)) = 0$ とのことなのですが、手順5の $(t^2 + 1)x^2 + 2t^2x + t^2 - 1 = 0$ から、 $(x + 1)・((t^2 + 1)x + (t^2 - 1)) = 0$ への変化が、まるで魔法の様に思えます。 確かに、 $(x + 1)・((t^2 + 1)x + (t^2 - 1)) = 0$ $(x + 1)・(t^2x + x + t^2 - 1) = 0$ $t^2x^2 + x^2 + t^2x - x + t^2x + x + t^2 - 1 = 0$ $t^2x^2 + x^2 + 2t^2x + t^2 - 1 = 0$ と、手順4の形になるので、合っているのがわかるのですが、 $(t^2 + 1)x^2 + 2t^2x + t^2 - 1 = 0$ から、(x + 1) をくくり出すと言うのは、どの様に考えていけば良いのでしょうか？

こんにちは。初めてのかたですか？よろしく。 これだけ書かれると魔法のようですね！ でも、やっていることは割り算です。 手順5でできた式はx+1で割り切れるのですから割り算を敢行した、ということです。その式を縦書き割り算（筆算風のやつ）や組立て除法をすれば確かに割りきれて商も求まります。x+1をくくりだせば、その商が残ります。 これで大丈夫でしょうか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を下さい。それがないと、読まれたのかどうかも、書いたものが役に立ったのかどうかもこちらにはわかりませんので。よろしく。