数A 整数

ゴリ押しでとく以外の方法が思いつきません。 解説をお願いします。

こんばんは。久しぶりですね。 整数問題ってのは定石（決まった手）があるのでなるべく覚えた方がいいのです。 （１）０＜ｘ≦ｙより1/x≧1/y　よって1/3＝1/x+1/y≦1/x+1/x=2/x　 これよりx≦６がわかります。この問題ではこれは必要ないんだけれど、よく使う手なので一応書きました。 さて、定石です。 1/x+1/y=1/3の両辺に3xyをかけて分母をはらいます。 3x+3y=xy よって問題は「3x+3y=xyを満たす正の整数を求めよ」という問題になります。この手の問題の定石は知ってますか？ xy-3x-3y=0にしてから左辺を見て無理やり(x-3)(y-3)を作って９を引きます。 (x-3)(y-3)-9=0 (x-3)(y-3)＝9 よって、(x-3,y-3)=(1,9)か(3,3)　これより(x,y)=(4,12)と(6,6) （２）(1)の最初に書いた手を使います。 ０＜ｘ≦ｙ≦ｚより1/x≧1/y≧1/z　だから 4/3=1/x+1/y+1/z≦1/x+1/x+1/x=3/x これよりｘ≦9/4だからｘ≦２がわかる。 (i)ｘ＝１のとき1/y+1/z=1/3だから(1)の結果を利用して(x,y,z)=(1,4,12)と(1,6,6) (ii)ｘ＝２のとき1/y+1/z=5/6 両辺に6yzをかけて6z+6y=5yz 5yz-6y-6z=0 yz-6/5y-6/5z=0 (1)と同様に、この式を見て(y-6/5)(z-6/5)-64/25=0 (y-6/5)(z-6/5)＝64/25 これでは整数にならないので全体に２５をかけます。 (5y-6)(5z-6)=36 これより(5y-6,5z-6)=(1,36)(2,18)(3,12)(4,9) このうちy,zが整数になるのは(4,9)のみ。このとき(y,z)=(2,3) よって(x,y,z)=(2,2,3) 以上より…あとはまとめて書けば答になります！ これでわかりますか？ わかったとか、このへんがまだよくわからんとか、いつものようにコメント欄に返事を書いてください。よろしく！