二次関数

f(x)＝x^2+ax+a+b＝0(a,bは整数)が異なる二つの実数解をもつとして、その2解をα、β(α<β)とし、α<t<βを満たす整数tがちょうど三つあるとき、β−αの取れる値を全て求める問題。 解答、考え方(途中式)込みで教えて欲しいです！

こんばんは。 y=x^2+ax+a+bとします。このグラフは軸がx=-a/2なので、整数を３個はさむということはそれ自体が整数でないといけないのでaは偶数。左右対称なのでβのほうで考えます。点（β,0)が軸の位置から1以上2未満離れていればいいので 1≦√D/2<2よりあれこれ計算して簡単にすると 4≦a^2-4a-4b<16 この式にa=2kを代入してbについて整理すると k^2-2k-4<b≦k^2-2k-1 よってb=k^2-2k-3,k^2-2k-2,k^2-2k-1の３個。このそれぞれでDを計算すると12,8,4となるから、√Dは2√3、2√2、2。 β-α=√Dだからこれが答。 今スマホしか手元になく、入力が大変なので少し雑な説明になってしまい、ごめんなさい。明日の夜からPCで答えられます。 とりあえず、これでわかりますか？コメント欄に、わかったとか、この辺がまだよくわからないとか、返事を書いてくださいね。よろしく。