数学II 関数

-π≦x≦πで定義された関数 f(x)=3sinxsin2x+cos3xがある。f(x)をcosxの式で表し、f(x)の最大値及び最小値を求めよ。またxの値もそれぞれ求めよ。 よろしくお願いします。

三角関数の加法定理と微分を使ってやっていきましょう。 　$ f(x)=3\sin x \sin{2x}+\cos{3x} \\ 　　　 =3\sin x \sin{2x}+ \cos(2x+x)\\ 　　　 =3\sin x \sin{2x}+ ( \cos{2x}\cos x - \sin2x \sin x ) \\ 　　　 =2\sin x \sin{2x}+\cos{2x}\cos x \\ 　　　 =2\sin{x} \cdot 2\sin{x} \cos{x} + (\cos^2 x - \sin^2 x )\cos x\\ 　　　 =3\sin^2{x}\cos x + \cos^3 x \\ 　　　 =3 (1-\cos^2 x)\cos x + \cos^3 x \\ 　　　 =-2\cos^3 x + 3 \cos x $ $ t = \cos x \dots ①$ とおくと 　$ f(x) = F(t) = -2 t^3 + 3t \dots ②$ $t$ についての3次関数の最大最小問題になるので、$t$で微分して求めていきます。 $ -\pi \le x \le \pi$ だから $ -1 \le \cos x \le 1 $ つまり $ -1 \le t \le 1 $ ②を $t$ で微分して増減表を書いてみましょう。 　$ F'(t) =-2 \cdot (3t^2) + 3 \\ 　　　= \displaystyle -6(t^2 - \frac{1}{2}) \\ 　　　= -6 (t + \frac{1}{\sqrt{2}} ) (t - \frac{1}{\sqrt{2}} )$ $ \begin{matrix} t : \, & -1 & \dots & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \dots & \frac{1}{\sqrt{2}} & \dots & 1 \\ F'(t) : \, & -3 & - & 0 & + & 0 & - & -3 \\ F(t) : \, & -1 & \searrow & -\sqrt{2} & \nearrow & \sqrt{2} & \searrow & 1 \end{matrix} $ これにより、 　最小値 $=-\sqrt{2} 　 (\displaystyle t=-\frac{1}{\sqrt{2}})$ 　最大値 $=\sqrt{2} 　 (\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{2}})$ とわかる。 ①より 　$\displaystyle t=-\frac{1}{\sqrt{2}} $　のとき $\displaystyle x=\pm \frac{3}{4}\pi $ 　$\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{2}} $　のとき $\displaystyle x=\pm \frac{1}{4}\pi $ まとめて 　最小値 $=-\sqrt{2}　(\displaystyle x=\pm \frac{3}{4}\pi ) $ 　最大値 $=\sqrt{2}　(\displaystyle x=\pm \frac{1}{4}\pi )$