1/x+2/yの最小値

x+2y=5, x>0, y>0を満たす実数x,yで1/x+2/yの最小値を求める問題で画像の上の部分のように解いたのですが間違っていました。解答を見て理解はできましたが自分の解答のどこが間違っているのかが分かりません。

こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 あなたの間違いはよくある間違いです。単純に相加平均と相乗平均の関係が使えない問題ですね。 あなたは答が出た後、それが実現するx,yの値と、不等式の等号成立条件を調べましたか？ あなたのやり方では不等号が２回出てきます（書いてないけれど）。 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}≧2\sqrt{\dfrac{2}{xy}} =\sqrt{\dfrac{2}{-y^2+5y}}≧\dfrac{8}{5}$ この二つの不等号の等号成立条件が異なります。ですから$\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}＝\dfrac{8}{5}$ という式が成り立たないのです。 はじめの等号成立条件は$\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{y},x+2y=5$ だし、後ろの等号成立条件は $y=\dfrac{5}{4},x+2y=5$ です。 この二つを満たすx,yの値は異なります。 ま、そうなったときは、方針を変えるしかありません。 とにかく、相加平均と相乗平均の関係を使ったときは必ず等号成立条件を求めること。これが大事です。 これでわかりますか？ これを読んだら、、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。それがないと、書いたものを読んでくれたのかどうかも、読んで役に立ったのかどうかも、こちらにはわかりませんので。よろしく。