数的推理　セミ問題　くさぼうぼう様

くさぼうぼう です (id: 1236) 様お願いします セミ問題を質問したものです。 ➀１３と１７が素数であり、互いに素だと、ある整数x,yを用いて13x-17yの値をどんな数にすることもできます。というのがわかりません、、。 ②2024＋13a=2021+17bを満たす自然数はあるとどのようにわかるのでしょうか。 　この場合ー13a+17b=3 となりますが、ax+by=1が整数解を持つ⇔aとbが互いに素　からどのようにaとbの整数解が存在する（セミ問題では自然数）といえるのでしょうか。

すみません、2024＋13a=2021+17bの整数解についてPCへの聞き方をミスして間違えていました。 正しい答えはa=5,b=4でした。すみません。 ①では任意の整数をｎとするとき、13x-17y=1の整数解が１つ解れば、その整数解をｎ倍すれば13x-17y=nの整数解が求められます。 ②も-13a+17b=３の整数解の一つがわかれば、一般のa,bも求まります。 どちらも１３の倍数、１７の倍数をいくつか書いていけばたいてい見つかります。①では４倍までで見つかります。②は５倍で。） その方法で整数解が見つからないときは、ユークリッドの互除法を用いれば必ず求まります。 その理論を全部書いていくことは無理なので、申し訳ないですが、ネット上のサイトを見てください。 https://manabitimes.jp/math/674　などはお勧めです。 検索は「不定方程式　整数解」とか「不定方程式　ユークリッドの互除法」とかです。 高校の数学Aの中ですので、そのあたりの参考書やネットが参考になります。 理論全部を書くのはちょっと厳しいので、お許しを。