微分

⑴の後半の極小値をただ一つとることの証明を教えていただきたいです。 f'(x)=0となるxがただ一つ存在し、そのxの前後でf'(x)の符号が-から+に変わるというのであっているのでしょうか。 ⑵はできればお願いします。

こんにちは。 極小値を取ることを示すには、極値を取るｘの値がわかっていれば、あなたが書いたようにf'(x)が０で、その前後で負から正に変わることを示せばいいですが、ある区間内で「極小値を持つ」「１個だけ持つ」ことを示すのはなかなか大変です。これは入試問題？演習問題？とにかくよく考えないと解答が書けません。 ある区間内で「極小値を持つ」「１個だけ持つ」ことを示すには、 ①区間の左端でf '(x)<0、右端でf '(x)>0を示して、その区間内にf '(x)=0となるようなｘが「少なくとも１つ存在する」ことを言い、 ②その区間内でf '(x)のグラフが波打って数か所でf '(x)=0になるということがない、つまり、f '(x)のグラフがその区間内で単調に増加していること を示す必要があります。けっこうメンドイよ。 f '(x)やf ''(x)を求めるところは大丈夫ですね。そこは書きませんよ。 ①　$f'(\frac{5 \pi}{4n})=-2n+\frac{5\pi}{4n} $ （途中計算はやってね）となり、この正負を調べます。 というか、負になるためのｎの条件を調べます。 $-2n+\frac{5\pi}{4n} <0$ より分母をはらったりして、 $n^2>\frac{5\pi}{8}≒2$ 。 n≧2だからこれを満たすので、$f'(\frac{5 \pi}{4n})<0$ 次に $f(\frac{3\pi}{2n})=\frac{3\pi}{2n}>0$ 。 以上より、f '(x) はその区間内で少なくとも１回は０になる。 ② $\frac{5\pi}{4n}<x<\frac{3\pi}{2n}$ のとき、$\frac{5\pi}{2}<2nx<3\pi$ 。 よってこの区間では $\cos{2n\pi}<0$ 。であるからして(笑)この区間で常にf ''(x)＞０！！！！ すなわちこの区間ではグラフは常に　下に凸で波打たない。 （あるいは、この区間でf"(x)＞０だから、この区間でf '(x)は単調増加。よってf '(x)＝０となるのは１回だけ、とやってもよい。） ①②よりこの区間内でf(x)はただ一つの極小値を持つ！！！！！！ というわけです。ムズイ！ これで大丈夫ですか？ これを読んだら、分かったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。よろしく。 （２）はもう少しあとで考えますね。ちょっと元気ないかも。