微分　難問

解説よろしくお願いします。例題1です。

こんばんは。久しぶりですね！ 難問なの？理科大だものね。 やってみましたが、計算量が多く、計算間違いの得意な私としては答に自信がまるでありません。 正解を持っているなら、先に示してくれると安心なんだけれど…。力任せのやり方です。もっとスマートなやり方があるのかもしれません。 Aでの法線、Bでの法線をｙ＝の形で求めて（$y=-\dfrac{1}{e^a}(x-a)+e^a$ など)　連立させ、がんばってＲのｘ座標を求めます。 途中の計算を書くのが大変なので初めの方は省略します。なんとかがんばってここまで来てください。 $x=\dfrac{ae^b-be^a}{e^b-e^a}-e^{a+b}$ $=\dfrac{1}{e^b-e^a} \cdot ab \left(\dfrac{e^a}{a}-\dfrac{e^b}{b} \right) -e^{a+b}$ ←分子を無理やりabでくくって、横に下ろしました。abをくくりだすことによって、aとa、bとbがそろいます。さらに無理やりb-aを分母と分子に入れます。なぜそんなことをするのかは、その次でわかります。 $=ab \cdot \dfrac{b-a}{e^b-e^a} \cdot \dfrac{\dfrac{e^b}{b}-\dfrac{e^a}{a}}{b-a}-e^{a+b}$ $=ab \cdot \dfrac{1}{\dfrac{e^b-e^a}{b-a}} \cdot \dfrac{\dfrac{e^b}{b}-\dfrac{e^a}{a}}{b-a}-e^{a+b}$ ここで、BをAに近づけると、b→a　なので、$\dfrac{e^b-e^a}{b-a}$ は $f(x)=e^x$ の$x=a$ での微分係数になるし、 $\dfrac{\dfrac{e^b}{b}-\dfrac{e^a}{a}}{b-a}$ は$g(x)=\dfrac{e^x}{x}$ の$x=a$ での微分係数になるというわけです！！！万歳！ $f '(x)=e^x , g '(x)=\dfrac{e^x}{x}-\dfrac{e^x}{x^2}$ なので、 Ｂ→Ａのとき、Ｒのⅹ座標→$ a^2 \cdot \dfrac{1}{e^a} \cdot \left( \dfrac{e^a}{a}-\dfrac{e^a}{a^2} \right)-e^{2a}$ $ = a-1-e^{2a}$ このときのRのy座標は、はじめの法線の方程式から求まるぞ。もうすぐ終わり！ $y=-\dfrac{1}{e^a} (a-1-e^{2a}-a)+e^a = \cdots = -\dfrac{a}{e^a}+2e^a$ これを座標の形に書けば完成。 計算間違いを見つけたらすぐ教えてください。見直します。 これでわかりますか？ 読んだら必ずコメント欄に返事を書いてください。がんばって書いたので、反応がなかったらむなしいですから。