数学B 数列

ここまでは解いてみたのですが、なんか違う気がして分からなくなりました。 この方法でいいでしょうか。

この手の問題は、以下のように、総和を計算するときに、最初と最後だけを残して途中が相殺されるようになるパターンにできればよいです。 (例) $a_n=\displaystyle \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} $ のとき $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k \\ 　=\sum_{k=1}^{n}\Bigl( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}\Bigr)　\\ 　=\Bigl( \frac{1}{1+1} - \frac{1}{1+2}\Bigr) +\Bigl( \frac{1}{2+1} - \frac{1}{2+2}\Bigr) +\Bigl( \frac{1}{3+1} - \frac{1}{3+2}\Bigr) +\\ 　　\dots +\Bigl( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\Bigr) \\ 　=\Bigl( \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\Bigr) +\Bigl( \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\Bigr) +\Bigl( \frac{1}{4} - \frac{1}{5}\Bigr) +\dots +\Bigl( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\Bigr) \\ 　=\Bigl( \frac{1}{2} - \frac{1}{n+2}\Bigr) $ 題意の一般項 $a_n$ を上のような形に変形できるとよい。 $a_n = \displaystyle \frac{4n+3}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n} +\frac{B}{n+1} +\frac{C}{n+2}$ とおく $\displaystyle \frac{4n+3}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A(n+1)(n+2) +Bn(n+2) +Cn(n+1)}{n(n+1)(n+2)}$ 左辺、右辺を比較して、 $\Bigg\{ \begin{array}{l} A+B+C=0 \\ 3A+2B+C=4\\ 2A=3 \end{array} $ これを解いて、$\displaystyle A=\frac{3}{2}, \, B=1, \, C=-\frac{5}{2} $ よって $a_n = \displaystyle \frac{1}{2} \Bigl( \frac{3}{n} + \frac{2}{n+1} - \frac{5}{n+2} \Bigr) \\ 　= \frac{1}{2} \Bigl\{\Bigl( \frac{3}{n} - \frac{3}{n+1} \Bigr) + \Bigl( \frac{5}{n+1} -\frac{5}{n+2} \Bigr) \Bigr\} $ 　　　★(↑)一つずらしの分数の分子が揃うように足し引きする $ 　=\dfrac{3}{2} \Bigl( \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}\Bigr) +\dfrac{5}{2} \Bigl( \dfrac{1}{n+1} -\dfrac{1}{n+2} \Bigr) $ 上の例と同様に考えて、最初と最後だけを残して計算します。 $S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k \\ 　= \sum_{k=1}^{n} \Biggr \{ \frac{3}{2} \Bigl( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\Bigr) +\frac{5}{2} \Bigl( \frac{1}{k+1} -\frac{1}{k+2} \Bigr) \Biggr \} \\ 　= \frac{3}{2} \sum_{k=1}^{n} \Bigl( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\Bigr) + \frac{5}{2} \sum_{k=1}^{n} \Bigl( \frac{1}{k+1} -\frac{1}{k+2} \Bigr) \\ 　= \frac{3}{2} \Bigl( \frac{1}{1} - \frac{1}{n+1}\Bigr) + \frac{5}{2} \Bigl( \frac{1}{2} -\frac{1}{n+2} \Bigr) \\ 　= \dfrac{n(11n+17)}{4(n+1)(n+2)} $