不等式

写真の解答のところで1/2≦2/xとなっているのですが僕は2/x≧1/2としてx≧4としました。でも解答ではx≦4となっています。どうして違うのか教えて欲しいです。

じろうかかかさん、こんばんは。 $\dfrac{1}{2}≦\dfrac{2}{x}$ でも$\dfrac{2}{x}≧\dfrac{1}{2}$ でも、それはどちらでもいいのですが、そのあとどうやって変形しまたか？ $\dfrac{2}{x}≧\dfrac{1}{2}$　の両辺に$2x$ をかけたのではないのですか？$2x>0$ なので、不等号の向きは変わらず、 $4≧x$ になるでしょ！ ひょっとして、両辺とも分数だから、分母分子をひっくり返した？そういう方法もあるのですが、それは両辺が正のとき、ひっくり返したら不等号の向きが変わることを覚えてください。たとえば $\dfrac{1}{2} >\dfrac{2}{5}$ をひっくり返したら $\dfrac{2}{1}>\dfrac{5}{2}$ はうそで、$\dfrac{2}{1}<\dfrac{5}{2}$ が正しいですよね。 $\dfrac{2}{x}≧\dfrac{1}{2}$　をひっくり返したら$\dfrac{x}{2}≦\dfrac{2}{1}$ となり、両辺に２をかけて $x≦4$ と求まります。 一番はじめの$0<x<y$ のうち、 $x<y$ の部分をひっくり返して $\dfrac{1}{x}>\dfrac{1}{y}$ が出てきたところも、不等号の向きが逆になってますよね！ これで大丈夫ですか？コメント欄に返事を書いてください。