このサイトはお使いのブラウザでは正常に動作しません。Google Chromeなど、別のブラウザを使用してください。
2次関数の頂点座標
2次関数の頂点座標は平方完成して求める問題がよくありますが
例えば以下のような2次関数で頂点座標を求める問題だとして
ｙ＝3X^2 + 12X + 1
教科書通りなら平方完成しますが、それをしないで、
いきなり各Xに0を代入してｙ＝１にした場合、求めた座標（0，1）が頂点座標ではない理由はなんでしょうか？
回答
x＝0 の直線 (つまりy軸) が軸ではないからです。
この2次関数の軸は以下の式から x＝−2です。
y＝3x^2＋12x＋1
＝3(x＋2)^2−11
ありがとうございます。 はい、平方完成を使えばX=－2になるのはわかります。 しかしなぜ平方完成を使えばX=ー2の直線が軸だと言えるのでしょうか？
2次関数の頂点は、yの値の最小値になる点です。 x^2の係数が正の場合 (つまり下に凸の形のグラフ) ですが。 それで、平方完成した式を見ると、 yの値が最小になるのは、(x＋2)^2が最小のときです。これは2乗だから0以上、つまり(x＋2)^2≧0なので、 0のときが最小です。 (x＋2)^2＝0となるのは、x＝－2のときです。 以上から頂点のx座標、つまり軸の方程式はx＝－2 となるのです。 ちなみに、 x^2の係数が負の場合 (つまり上に凸のとき)は、頂点はyが最大の位置になります。
このように、平方完成式に変形する理由は、最小値を見つけやすくするためです。 (x^2 の係数が負のときは最大値を見つけやすくするため)
＞これは2乗だから0以上、つまり(x＋2)^2≧0なので、 0のときが最小です 理解できました。今回の例ではｘ＝－2のときにｙが最小になるので、そこが頂点座標と言えるのですね。 ありがとうございました。
はい、その通りです！ ご理解いただけて幸いです。