グラフの概形の端点の極限

yano yano (id: 1755) （2023年2月15日16:00）

お世話になっています。お写真のような、グラフの概形をかけという問題に関して、大学入試で記述問題として出題された場合、グラフ端点の曲線の状態を極限を使って調べるところまで解答用紙に記載しなければ、丸はもらえないのでしょうか？これを書くのと書かないのではdy/dxを求める必要があるなど、文量がかなり変わってきてしまうので質問させていただきました。よろしくお願いいたします。ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーわかりづらいコメントをしてしまい申し訳ありません。先生のと同じです。解いた写真を追加で添付しますので、書き方がまずかったらご指摘いただきたいです。

くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年2月15日22:43）

それはちょっとおかしいですね。 sinが負で０に近づくなら、分母は負で分子は正だから→－∞になってしまいますよ。そもそもθ→π+0ではなく、θ→π-0です。そのときsinは正で０に近づくので、分母が正、分子も正で、＋∞になります。わかりますか？あ、それから私は元先生ですが今はただの爺さんですので、先生と呼ばなくて結構ですよ(笑)。

yano yano (id: 1755) （2023年2月15日22:46）

プラスマイナス間違えてしまいました。でもとても理解できました。お名前が長いですので先生と呼ばせてください。実際教わっている身でございますので。よろしくお願いいたします。

くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年2月15日23:11）

理解してもらえたなら良かったです。次の質問を楽しみに待ってます！

回答

くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年2月15日20:16）

ミンホイさん、こんばんは。回答者になってくれてとても心強いです！ありがとうございます！さて、あなたの質問はむずかしいところですね。じつはだいぶ前に見ていたのですが、どう書こうか結論が出ず、遅くなりました。簡単に求まるなら解答に書くべきです。概形が答になる問題なので、もちろんわかる事柄はなるべく多い方がいいのです。でも、いま問題になっている端での状況はいつも必ずしも簡単に求まるとは限らないです。この問題で、両端でのの極限値はそう簡単ではないかもしれません。 $\theta \rightarrow +0$ で$\dfrac{dx}{dy} \rightarrow 0$ とか、 $\theta \rightarrow \pi -0$ で$\dfrac{dx}{dy} \rightarrow +∞$ とかは、易しいとはいえないかも。まあ、$\theta \rightarrow \pi -0$ のほうは何とかなるけれど、$\theta \rightarrow +0$ の場合はどうなんだろう（私はロピタルの定理という禁じ手で求めました)。うまく求められるのかなぁ。現にその解答では両方とも入っていないですよね。欄外に書いているのは解答じゃないし。０に近づくときの話は欄外にもないし、ね。ごめんなさい、明確に答えられません。お勧めは、 ①容易に求められる時はもちろん書く。 ②けっこう考えてもダメな時は書かない。 ③書かないけれど、こっそりロピタルの定理を使って極限値を求めておいて、図に反映させる。 ④そして、「極限の式＝結果」だけを書いておく。あるいは開き直ってロピタルの定理を使った解答にする。これで大丈夫ですか？大丈夫じゃないよね。なにかコメント欄に返事を書いてくれるといいですが。＝＝＝＝＝＝コメントの内容に答えます＝＝＝＝＝＝ $\theta \rightarrow \pi -0$ のとき、分子は$(-1)×(-2)=2$に近づき、分母は $(+0) ×3=+0$ に近づくので、 $\dfrac{2}{+0} \rightarrow +∞$ ということです。これでいいですか？同じ考えだった？

yano yano (id: 1755) （2023年2月15日20:53）

すごく丁寧に答えてくださりありがとうございます。回答者になったのは私の質問に早く答えてもらいたかったからで、私も先生になろうとかそういう驕りとかはないです。でも私でもわかるくらいの問題だったら、私の質問がはやく回ってくるようにまた答えてしまうことがあるかもです。不思議なくらい早く返信をいただけて満足しています。本当なら、学校の授業でやるくらい有名な曲線だし、入試に出たことだってあるだろうから、赤本とかで、時間かけてでも本当は色々探さなきゃいけないのに。でも私の学校にはあんまり赤本置いてないし、大きな本屋さんもあんまり高くないからまた質問させていただくと思います。すこし横着な私をお許しください。 θ→πの極限は、 dy/dxを求めたら、分母分子因数分解できて、 dy/dx=(2cosθ+1)(cosθ-1) / sinθ(1-2cosθ) ってなったから、 sinθの正負だけ考えれば良いかなって思ったんですが、それでも大丈夫ですか？追っての質問で申し訳ないです。よろしくお願いします。

くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年2月15日21:35）

あ、そういうわけで回答者になってくれたのですか！ま、おかげであの問題の回答を書かずに、あなたの問題に取りかかれましたからよかったです。でも、そういう事じゃなくても、回答してみてください。教えるつもりで書くということは、自分にとって大変勉強になりますし、思わぬことに気づいたりします。さて、その極限ですが、「 sinθの正負だけ考えれば良いかな」というのはちょっとよくわかりません。入力のしやすさの関係上、上の回答に追加しますので、それを読んでください。今から書きますので、ちょっと待ってて。

くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年2月16日20:45）

途中の説明でdy/dxがdx/dyになっちゃってますね。間違いです。もう訂正できませんが。

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