変形の仕方

特性方程式を使って変形させるのは分かるのですが、どんな風に変形させているのかが分かりません！ 226番です

あらためて回答します。 こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 まずは、特性方程式の使いかたから。 226.　$a_{n+2}=5a_{n+1}-4a_n$ から $t^2=5t-4$ という２次方程式を作ります。これを作るとなぜうまくいくのかは後で説明します。とりあえず使い方です。 この２次方程式をといて$t=1,4$ 。この２つの解を使うと、問題の３項間漸化式は２通りに変形できます。 ちょっと説明のために、２つの解をα、βとしておくと ①　$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta ( a_{n+1}-\alpha a_n )$ これで、$a_{n+1}-\alpha a_n$ という数列が公比βの等比数列に変形できます。 ②$a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha ( a_{n+1}-\beta a_n )$ これで、$a_{n+1}-\beta a_n$ という数列が公比αの等比数列に変形できます。 ①②はどちらを使っても大丈夫です。ただ、α＝１が出てきた場合は①を使えば$a_{n+1}-\alpha a_n$ という数列が階差数列となり、あとの計算が楽です。 では問題に戻ります。 特性方程式より、α＝１，β=４がえられたので、与えられた漸化式は次のように変形できます。 $a_{n+2}-a_{n+1}=4 ( a_{n+1}- a_n )$ （これが正しい変形であることは、これを展開して整理すればもとの漸化式に戻るということで確かめられます) 階差数列を{cn}とすると、これより$c_{n+1}=4 c_n,c_1=3$ よって$c_n =3 \cdot 4^{n-1}$ これより、 $a_n= a_0 +\sum_{k=1}^{n-1}3 \cdot 4^{n-1}$ ＜別なやりかた＞ 特性方程式の解t=1,4を用いて ①　$a_{n+2}- a_{n+1}=4 ( a_{n+1}- a_n )$ ②　$a_{n+2}-4 a_{n+1}=1 \cdot ( a_{n+1}-4 a_n )$ ①より数列$a_{n+1}- a_n )$ は初項３，公比４の等比数列だから $a_{n+1}- a_n=3\cdot 4^{n-1}$ …③ ②より数列$a_{n+1}-4 a_n$ は初項３、公比１の等比数列だから $a_{n+1}-4 a_n=3\cdot 1^{n-1}$ …④ ③ー④から$a_n$ が求まります。 ちょっとこの問題では数値の関係で特殊な式も出てきましたが、やり方を見てください。 一般に３項間漸化式の解法は上の２つです。 2項間漸化式の方は大丈夫ですか？ ＜追加サービス＞特性方程式で変形できる理屈です！とばしてもいいけど。 $a_{n+2}=p a_{n+1} + q a_n$ を $a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta ( a_{n+1}-\alpha a_n )$ のように変形できたらいいなぁ！という願望から始まります。あとの方の式を展開して整理すると $a_{n+2}=(\alpha + \beta) a_{n+1} - \alpha \beta a_n$ よって、$\alpha + \beta=p,\alpha \beta=-q$ を満たせばよいから、 α、βは２次方程式 $t^2-pt-q=0$ の解であることがわかります！ すなわち漸化式をもとに$t^2=pt+q$ としてやれば、α、βを求める方程式が得られるんだ！ これが特性方程式と呼ばれるものです。 ２項間漸化式も「こうなったらいいのに」という願望から生まれます。 必要なら書き足しますので言ってください。 これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。それがないと、書いたものが読まれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわかりませんので。２回目以降も書いてくださいね。よろしく。