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積分の証明
a>0の時、関数f は[0,a]上で連続しているとする。任意の0≤x≤aに対して、∫(0からx)f(t)dt=1/2xf(x)とする。その時、[0,a]上でf(x)=cxとなる実数cが存在することを証明しなさい。
という問題なのですが、どう始めれば良いのか全く分かりません。アドバイスください！！
回答
こんにちは。
「≤」を使うのでは、大学生ですか？大学生なら自分で考えろ！友達と議論しろ！というスタンスと、私は大学数学は自信がないのでしっかりは答えませんが、
はじめの積分方程式の両辺を微分してやると
$f(x)=\frac{1}{2}f(x)+\frac{1}{2}xf'(x)$ より、微分方程式 $y=x\cdot \frac{dy}{dx}$ が得られます。
$\dfrac{dy}{y}=\dfrac{dx}{x}$
両辺積分して $\log{y}=\log{x} +C$ （Cは積分定数）
$\log{y}=\log{e^Cx} $
$y=e^Cx$
$e^C=c$ と書けば、題意が示された//
自信ないけど…大学数学では厳密じゃないと…
コメント欄になにか返事を書いてください。
ありがとうございます。そのやり方でやってみます！ 高校生ですが、≤って高校生は使わないのですか？インター生なのでカリキュラムが違うのかもしれないです、すいません。
あ、失礼、高校生でしたか。 微分方程式、大丈夫ですか？
高校までは「 ≤ 」で、大学からは「 ≤ 」を多用するので早合点でした。
微分方程式の部分、調べたのですが、理解出来てないです、、解説お願いしたいです！
え〜と、そもそも微分方程式は授業でやったのですか？
基礎の基礎みたいな所だけ習ったと思います。
https://batapara.com/archives/differential-equation-ode-1-2.html/#1-2 の、例題１の解答を見てください。
理解しました。ありがとうございます！