行列の平方

つぎを満たす2次の正方行列Aを求めよ。 A^2+A+10E=0 写真はこの上記の問題(f)の解説です。 解説の3行目の [ω 0] [c ω^2] になるやり方が分からないので、詳しく解説できる方いましたら、教えていただきたいです。

こんばんは。初めての方ですね。よろしく。 あれ？１０Ｅですか、Ｅでいいですか（ダジャレみたい）？ 問題（ｆ）の通り、Ｅで考えてみますね。 ｂ≠０の場合は、そのようにａ,bを任意として(もちろんｂ≠０で）そのように求まりました。 ｂ＝０の場合から虚数を成分にしたＡが求まります。ただ、その解答に書いてあるのは２個ですが、正解は４個あると思います。 では、いきます。 ｂ＝０のとき、第(1,1)成分より$a^2+a+1=0$ 虚数を許せば、$a=ω,ω^2$ 同様に、第(2,2)成分より $d=ω,ω^2$ aとdの組合せは４つ。 (a)$a=ω,d=ω$ と　(b)$a=ω^2,d=ω^2$ のときは、第(1,2)成分と第(2,1)成分より$b=c=0$ よってA=$ \begin{pmatrix} ω & 0 \\ 0 & ω \end{pmatrix} $ 、$ \begin{pmatrix} ω^2 & 0 \\ 0 & ω^2 \end{pmatrix} $ 。 次に(c)$a=ω,d=ω^2$ と (d)$a=ω^2,d=ω$ のときは、$ω^2+ω+1=0$ だから第(1,2)成分と第(2,1)成分より ｃは任意。 よってＡ＝$ \begin{pmatrix} ω & 0 \\ c & ω^2 \end{pmatrix} $ 、$ \begin{pmatrix} ω^2 & 0 \\ c & ω \end{pmatrix} $ 。だたしｃは任意。 というわけで、虚数を許せば、さらに４通りのＡが求まります。 これでわかりますか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。それがないと、書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらにはわかりませんので。２回目以降も同様です。よろしく。 =============追加の回答=============== ωは１の３乗根です。$x^3=1$ より $(x-1)(x^2+x+1)=0$ 。 $x^2+x+1=0$ の解を求めると、$x=\dfrac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$ですから、$ω=\dfrac{-1+ \sqrt{3}i}{2}$ でもいいし、$ω=\dfrac{-1- \sqrt{3}i}{2}$ でもいいですが、その片方をωとすると、ωの２乗がもう片方の解になります（計算してみて！）。ですから、$x^2+x+1=0$ の２つの解は、$x=\dfrac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$ですが、片方をωとすれば他方はωの２乗と表され、因数分解では $(x-ω)(x-ω^2)$ と書けます。 「ｂ＝０のとき、第(1,1)成分より$a^2+a+1=0$ 虚数を許せば、$a=ω,ω^2$」というのはそういうわけです。ωと書かなくても$a=\dfrac{-1+ \sqrt{3}i}{2},\dfrac{-1- \sqrt{3}i}{2}$ でもいいです。ｄについても同じく２つの場合があるというわけです。 これで大丈夫ですか？