数学と人間の活動（２）

明日定期テストです。（しかも一時間目から数１） 24ⅹ＋19ｙ＝１　がわかりません。24と19を互除法で解き、移項するまではわかるのですが、そのあとがわかりません。わかりやすく途中式を書いてほしいです。

こんにちは。 問題は「整数解すべてを求めよ」ということですね。 しかも「ユークリッドの互除法を用いて」という指定がついているのですか？ 指定されてなかったら、２４と１９を整数倍したものをいくつか書いて（たいていは５，６倍まですれば大丈夫）、差が１であるものを見つければいいのですが… ２４…24,48,72,96 １９…19,38,57,76,95　あ、見つかった！ 96=24×4　　95=19×5　　この差は１ よって、２４×４ー１９×５＝１ つまり　２４×４＋１９×（ー５）＝１。 解の１つが見つかりました。この式があとで書く⑤になります。 下のほうでやってるので見て。 この４とー５を見つけるのをユークリッドの互除法でやれという命令なのですね。 割り算なんかしながら（縦書き割り算を左につなげるのは分かる？） ２４÷１９をやって、２４＝１９×１＋５　 これより　５＝２４－１９×１…①　（余り＝の式にしておく） １９÷５をやって、１９＝５×３＋４　（前の割った数１９を余り５で割る） これより　４＝１９－５×３…②　（余り＝の式にしておく） ５÷４をやって、５＝４×１＋１　　（前の割った数５を余り４で割る） これより　１＝５－４×１…③　（余り＝の式にしておく） あまりが１になったところでおしまい。 このあと、③からスタートして、②を代入。整理したら①を代入ってことをやります。 ③→１＝５－４×１ ＝５－（１９－５×３）×１←②４＝を代入 ＝５ー１９×１＋５×３ ＝５×４ー１９×１　(×１はなくてもいいけど） これの５に①の５＝を代入 ＝（２４－１９×１）×４ー１９×１ ＝２４×４－１９×４ー１９×１ ＝２４×４ー１９×５ ＝２４×４＋１９×（ー５） これで、あたえられた不定方程式を満たす解が１つ見つかりました。 ｘ＝４，ｙ＝ー５ この後は ２４ｘ＋１９ｙ＝１…④ ２４・４＋１９・（ー５）＝１…⑤ ④－⑤ ２４（ｘ－４）＋１９（ｙ＋５）＝０ ２４（ｘ－４）＝ー１９（ｙ＋５）…⑥ ２４と１９は互いに素で、右辺は１９の倍数だから、それに等しい左辺も１９の倍数だ、と解釈できるので、 じゃぁ、ｘ－４のほうが１９の倍数だとわかる。これを整数ｋを用いて ｘ－４＝１９ｋと書ける。すると⑥は ２４・１９ｋ＝ー１９（ｙ＋５） ２４ｋ＝ー（ｙ＋５） よってｙ＋５＝ー２４ｋ ｙ＝ー２４ｋ－５ あ、ｘ＝１９ｋ＋４です。 以上より　ｘ＝１９ｋ＋４、ｙ＝ー２４ｋ－５ なお、この一般解の表現はたくさんあって、これ以外でも正解となりえます。 ｘ＝ー１９ｋ＋４，ｙ＝２４ｋ－５だっていいし。 ｘ＝１９ｋ＋２３，ｙ＝ー２４ｋー２９　も正解ですよ。 これでわかりますか？コメント欄に返事を書いてください。明日のテスト、がんばってくださいね！