数3

第n次導関数は (-√2)^n・e^-x・sin(x-nπ/4) と出たのですが、（合っているかは不明） その後の和を求めるところで、(-√2)^nが振動してしまい求められません。 この問題解説お願いします！

こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 $f^{(n)}(a+\dfrac{n\pi}{4})$ は、公比 $\dfrac{-\sqrt{2}}{e^{\frac{\pi}{4}}}$の等比数列になりますよね。 $\dfrac{-\sqrt{2}}{e^{\frac{\pi}{4}}}$のｎ乗は、 $\left|\dfrac{-\sqrt{2}}{e^{\frac{\pi}{4}}}\right|<1$ ならば０に収束するので問題ないと思います。無限等比級数は収束して和を持ちます。 あと、あなたが考えることはをちゃんと示すことです。 まずはここまでにしておきますので、上の課題に挑戦してみてください。だめそうなら言ってください。書きますので。 ここまでは大丈夫でしょうか？ ==================追加します(2023/02/21/16:34)==================== $\left|\dfrac{-\sqrt{2}}{e^{\frac{\pi}{4}}}\right|<1$ を示すには$\dfrac{\sqrt{2}}{e^{\frac{\pi}{4}}}<1$ すなわち $\sqrt{2}<e^{\frac{\pi}{4}}$ を示そうとします。指数表示にして $2^{\frac{1}{2}} 　と　e^{\frac{\pi}{4}}$ を比較します。分数乗のままでは比較しにくいので両方を８乗します。 $2^4　と　e^{2\pi}$ を比較します。 ｅ＞2.7、π＞３であることから $e^{2\pi}>2^6$ で、もちろん $2^6>2^4$ 。 よって $2^4<e^{2\pi}$ すなわち$\sqrt{2}<e^{\frac{\pi}{4}}$ これより $\left|\dfrac{-\sqrt{2}}{e^{\frac{\pi}{4}}}\right|<1$ 求めるものは、初項が $\sin a\cdot e^{-a}$ 、公比が$\dfrac{-\sqrt{2}}{e^{\frac{\pi}{4}}}$の無限級数の和。 公比の絶対値は１より小さいので、その和は収束し、和は $\dfrac{\sin a\cdot e^{-a}}{1-\left(\dfrac{-\sqrt{2}}{e^{\frac{\pi}{4}}}\right)}=\dfrac{\sin a}{e^a+\sqrt{2} e^{a-\frac{\pi}{4}}}$ 分母は $e^a$ をくくりだしてもいいかな。 途中で計算間違いがあったら教えてください。けっこうやるのです(恥)。 この解答での難点はｅやπの概数を使うこと。それらを使わないで示せるかは、もう少しがんばってみます。 あなたもなにか考えてください。 これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。それがないと、せっかく書いたのに、書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわかりませんので。２回目以降もそうです。よろしく。