部分積分と積分方程式(?)を使った積分

nagai h (id: 1781) （2023年2月21日22:59）

∫[x→∞] (u-x)f(u)du (ただしf(x)= d/dx F(x), lim[x→ -∞]F(x)=0, lim[x→∞]F(x)=1 )をxで微分すると、答えが1-F(x)となっていて、自分はまず部分積分をしてみて、そこから定積分に変数xが使われる積分方程式の公式を使ってみたのですが、答えが揃いません。どうか正しい導出方法を教えていただけないでしょうか？自分はまず、∫[x→∞] uf(u)du - x∫[x→∞] f(u)du とした後に、前者に部分積分を行い = [uF(u)](∞→x) - ∫[x→∞] f(u)du + x ∫[x→∞] f(u)du ={∞F(∞)} - ∫[x→∞] f(u)du + x ∫[x→∞] f(u)du = ∞ - ∫[x→∞] f(u)du + x ∫[x→∞] f(u)du となり、ここで全体にd/dxを作用させると 0 + f(x) + ∫[x→∞] f(u)du - x f(x) =0 + f(x) + F(∞) - F(x) - x f(x) =f(x) + 1 - F(x) - x f(x) ？になってしまいます。どうかよろしくお願いします。 (追記) 広義積分を使うと、 d/dx ∫[x→∞] (u-x)f(u) du = lim[t→∞]d/dx ∫[x→t] (u-x)f(u)du = lim[t→∞] (d/dx ∫[x→t] uf(u)du - d/dx (x ∫[x→t] f(u)du )) = lim[t→∞] (-xf(x) - (∫[x→t] f(u)du + x(-f(x)))) = lim[t→∞] (- (∫[x→t] f(u)du)) = lim[t→∞] [-F(u)](x→t) = lim[t→∞] (-F(t) + F(x)) = -1+F(x) (∵ lim[x→∞]F(x)=1) で合ってますか？

nagai h (id: 1781) （2023年2月22日9:33）

広義積分を使うと、 d/dx ∫[x→∞] (u-x)f(u) du = lim[t→∞]d/dx ∫[x→t] (u-x)f(u)du = lim[t→∞] (d/dx ∫[x→t] uf(u)du - d/dx (x ∫[x→t] f(u)du )) = lim[t→∞] (-xf(x) - (∫[x→t] f(u)du + x(-f(x)))) = lim[t→∞] (- (∫[x→t] f(u)du)) = lim[t→∞] [-F(u)](x→t) = lim[t→∞] (-F(t) + F(x)) = -1+F(x) (∵ lim[x→∞]F(x)=1) で合ってますか？

くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年2月22日9:44）

あ、私の回答とあなたの解答が時間差で重なってしまいました。それならＯＫです。その解答と結果でいいんじゃないでしょうか。よかった、よかった！！

回答

くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年2月22日8:49）

おはようございます。初めての方ですね。よろしく。私は中高専門というか、大学数学は自信がないので、たいていはお答えしていません。でもこれはちょっとやってみようと思い、昨夜やりましたが、あまりにも情報が抜けていて、やめました。でも今朝見たら追加で書き込まれていたので、もう一度考えてみようかと思います。ｘ→∞というのは、定積分の下端がｘで上端が∞ということでいいですね。そうするとこれは広義積分ですから、上端をなにかｔとか置いて考え、ある程度のめどがたってからｔ→∞として極限値を求めるように記憶していました。あなたの質問文中に∞F(∞)とか ∞ - ∫[x→∞] f(u)du + …などが気になっています。それでは、これから考えてみます。分からなければ回答はできませんが(笑)。 (8:55)追記「自分はまず」の下の行の２番目の被積分関数はf(x)ｆではなくF(x)では？その下の行、∞を代入することはできません。 (9:30)追記やりましたが、F(x)-1になってしまいました。どうやら、あなたがかいた式の解釈がちがっていたのかもしれないと思い、再確認しますが… ｘ→∞をどういう意味で使っているのですか？私は$\int_x^∞$ …①なのかと思って、上端を仮にｔとして、あとでｔ→∞を考えたのですが、あなたが書いたｘ→∞は、ひょっとして $\int_a^∞$…②とか$\lim_{x→∞}\int_a^x$…③ ということなのですか？？そもそも　∫[x→∞] uf(u)du　とか　 [uF(u)](∞→x)　が意味不明ですので。 ①②③のどれですか？それがわからないと、やはり回答できません。よろしく。

nagai h (id: 1781) （2023年2月22日9:14）

回答ありがとうございます。独学で勝手にやってるものでちんぷんかんぷんで困っていました。ｘ→∞というのは、定積分の下端がｘで上端が∞ということでいいですね。→それであってます。「自分はまず」の下の行の２番目の被積分関数はf(x)ｆではなくF(x)では？　→その通りです。部分積分のやり方を間違えていました。その下の行、∞を代入することはできません。→広義積分の手法を失念しておりました。色々なサイトを巡ってみると、答えの1-F(x)は誤植で、本当は-1+F(x)が答えのようです。 Mathematicaのサイトで答えを計算させたところ、確かに∫[x→∞] -f(u)du　という答えらしきものが出てきました^^;

nagai h (id: 1781) （2023年2月22日9:43）

申し訳ありません。①であってます。[uF(u)](∞→x)は忘れてください。何の意味もありません。部分積分をするときに前の項を括弧でくくる奴です。つまり積分をしようとしていたのですが、やり方が何もかも間違っていました。そして答えもF(x)-1であってます。申し訳ございませんでした。

くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年2月22日9:47）

こちらこそ早とちりで答えてすみませんでした。これで解決でいいのでしょうかね？

nagai h (id: 1781) （2023年2月22日9:49）

おかげさまで解決しました。ありがとうございます。m(_ _)m

くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年2月22日9:49）

細かい計算は苦手で、しょっちゅう計算間違いをするので自信はないです。間違いがあったら教えてください。独学ですか！すごいです。また何かありましたら質問してください。

nagai h (id: 1781) （2023年2月22日9:53）

自分もざっくり理解できれば儲けもの^^; くらいの感覚で数学をやってるド文系なのでいつもしょうもない所で躓いてしまいます。 1人で考えるより質問を通じて訂正していただいたほうがなんだか理解が深まる気がしました。ありがとうございました。またよろしくお願いします。

くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年2月22日11:23）

独学はなかなか大変なことです。しっかりした解説がついた問題集など手元にあるといいかと思います。この質問箱のサイトは、どうやら回答者が他にいないようで、大学レベルの数学にはほとんど回答がつきません。今回はわたしでも手に負えましたが、あまり期待しないでください(笑)。

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