整数問題

この問題を教えてください。 「不等式を使って範囲を絞り込む」ということを使うのだろうとはわかるのですが… 自然数 n および自然数 a, b, c は次の条件(i), (ii)を満たしている。 　　(i)　a>b>c 　　(ii)　(n+1)/a+(n+1)/b+(n+1)/c=n (1)　n=11 のとき, 条件(i), (ii)を満たす自然数 a, b, c の組 (a, b, c) をすべて求めよ。 (2)　条件(i), (ii)を満たす自然数 n の最大値を求めよ。また, そのときの自然数a, b, c の組 (a, b, c) をすべて求めよ。

こんにちは。 あらためて書きます。すこし飛ばす部分もありますが、もし分からなければ言ってください。 （１）n=11のとき。 $a>b>c>0$より$\dfrac{12}{a}<\dfrac{12}{b}<\dfrac{12}{c}$ だから $\dfrac{12}{a}+\dfrac{12}{b}+\dfrac{12}{c}<\dfrac{36}{c}$ よって$11<\dfrac{36}{c}$ これより$c<3.2\cdots $ だから　$c=1,2,3$ しかしc=1は不適（代入して見ればわかります） 以下、場合分け。 (a)ｃ＝２のとき $\dfrac{12}{a}+\dfrac{12}{b}+\dfrac{12}{2}=11$より $\dfrac{12}{a}+\dfrac{12}{b}=5$ 前と同じ考えで$\dfrac{12}{a}+\dfrac{12}{b}<\dfrac{24}{b}$　だから $5<\dfrac{24}{b}$ よって$b=\dfrac{5}{24}=4.8$ これより $b=3,4$ (b>cを考慮して） また場合分け。 b=3のときとb=4のときを具体的に入れてaがそれぞれ12と６になります。 (b)ｃ＝３のとき $\dfrac{12}{a}+\dfrac{12}{b}+\dfrac{12}{3}=11$より $\dfrac{12}{a}+\dfrac{12}{b}=7$ これより、前と同様にしてb<3.4…だからb=3。これはb>cでないので不適 以上より(a,b,c)=(12,3,2)(6,4,2) （どこか計算間違いがあったら教えてくださいね。よくやるのです） ここまで大丈夫ですか？ いよいよ（２） ｎのまま、（１）と同じことをやります。 すると$n<\dfrac{3(n+1)}{c}$ となり、これより $c<\dfrac{3n+3}{n}=3+\dfrac{3}{n}$ ここで、（１）でn=11のときに適するa,b,cが存在したのだから、最大のｎは１１以上。 よって$\dfrac{3}{n}<1$ だから、$c=2,3$　（n=1はすぐに不適だとわかる） あとはまた場合分けです。 (a)c=2のとき （１）と同様なことをして $\dfrac{n+1}{a}+\dfrac{n+1}{b}+\dfrac{n+1}{2}=n$ これをあれこれ整理して、$b<\dfrac{4(n+1)}{n-1}=4+\dfrac{8}{n-1}$ $n≧11$ の場合を考えているので$\dfrac{8}{n-1}<1$ よって$b=3,4$ (a)b=3のとき $\dfrac{n+1}{a}+\dfrac{n+1}{3}+\dfrac{n+1}{2}=n$ をがんばって整理していくと $n=\dfrac{5a+6}{a-6}=5+\dfrac{36}{a-6} $になります。 nは自然数だから、$\dfrac{36}{a-6}$ が自然数。 よって$a-6$=1,2,3,4,6,9,12,18,36 このとき、ｎを計算すると$a=7,n=41$ でｎは最大になります。 (b)b=4のとき そろそろつかれた～ (a)と同様にして$a=5,n=9$ でｎは最大になります。 以上より、ｎの最大値は４１。 b,c,nがわかっていますからａは元の式から求まりますね。私の答は(a,b,c)=(7,3,2) ですが、計算間違いの恐怖は感じています（怖）。 間違えてたら教えてください。見直します。 これで大丈夫ですか？ わかったとか、まだこのへんがわからないとか、前回のとき同様、コメント欄に返事を書いてください。よろしく。書くのが多くて疲れた～！役に立てばそんなのはかまわないです。