t=x+√(x^2+1)の置換積分法の別解について

お世話になっております。 前回の1/cosxの積分の質問の回答について、とてもよく分かりました。いつも感謝しております。 今回はお写真の(1)の積分についてなのですが、 (受験の月https://examist.jp/mathematics/integration/tokusyu-tikan3/ というサイトです) x=1/2(t-1/t)と置換しても解けるとあるのですが、 t=x+√(x^2+1)と同値として考えるために、(t>0)という条件をつける必要があるかと思うのですが、 x=1/2(t-1/t)と置換して解く場合、(t>0)は付ける必要があるで正しいのでしょうか？ また、実際に試験でそのように置換して解く場合、t>0を付けるのは何だか突拍子もない書き方だと思うのですが、 それは私が『t>0として良い』ことの理由をいまいち理解していないからだと思うのですが、その点も教えていただけないでしょうか。 よろしくお願いいたします。

こんばんは。 なかなか楽しいサイトですね。こりゃぁマニアックだ。 こういうレベルが読めるなんてかなり力がありますね。 突っ込みもかなり鋭い。いつも感心しています。 さて、このサイトでも「実質同じ置換」とかいてあるとおり、完璧な同値でないのは分かりますよね。変形の途中で２乗しているからね。そして、その別解の冒頭でもｔ＞０と断っています。書くべき方法なのです。 もしｘ＝のほうを使う時はｔ＞０は書く必要があるでしょう。書く必要があると理解して使う置換法です。 ｔ＞０を付けないと、ｘとｔが1対1対応せず、置き換えというには不備ですから。 ちょっと説明不足ですかねぇ。でも理解力があるあなたならわかってくれるかな？ コメント欄に返事を書いてください。