定積分の部分積分法

添付ファイルの画像の赤いラインが引いてある箇所がどのように導出されているのか、よくわかりません。 自分の場合部分積分が一生終わらないループに陥ってしまってます。

こんにちは。 部分積分はトラウマになる人も多いです(笑)。 しかもこの問題は、普通こんなことに気がつかないです。 すいません、この解法（２行目）はどうやって発見したのかわかりません。 $x^3$ を $x^2$ と$x$ に分けて、しかも２行目なんて……！！ 普通はできないですよ、こんなの。気にしないで飛ばすのがいいと思いますが。 しかし、まぁ、これを素直に受け入れて解説を書きます。ちょっと心苦しいですが。 部分積分の公式を $$\int f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x) dx$$ としたとき、この問題では $f(x)=-\dfrac{x^2}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}} 、g(x)=x^2 $　としたときの部分積分をやっているだけです。 それさえはっきりさせておけば公式通りです。 積分の外に出した[ ] の定積分は、x=1,x=0のどちらを代入したときも０になるので、＝のあとには書いていません。 後ろの方の積分は $1-x^2=t$ と置き換えた置換積分をやっているようです。この解答では置き換えを書いていませんが、ちゃんと置き換えて積分して、積分範囲も考えて計算してみてください。ｔでの積分範囲は１から０。また$xdx=-\frac{1}{2}dt$ 。あとは慎重に計算あるのみです！　うまくいかないようなら言ってください。書きます。 では、コメント欄に返事を書いてください。