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数学
テスト勉強をしていて、分からない問題があったのですが、答えを見てもよく分かりませんでした。
どのように解けばよいのか教えていただきたいです。
回答
こんばんは。
こういう問題は定番ですので、テクニックを覚えるのがいいと思います。
それは $a^x+a^{-x}$と$a^x-a^{-x}$の関係です。
それぞれ2乗すると
$(a^x+a^{-x})^2=(a^x)^2+2a^x a^{-x}+(a^{-x})^2=a^{2x}+2+a^{-2x}$
$(a^x-a^{-x})^2=(a^x)^2-2a^x a^{-x}+(a^{-x})^2=a^{2x}-2+a^{-2x}$
です。これを使えば、2乗したものなら一方からもう一方の値が求まります。
この問題の場合だと、
$(a^x+a^{-x})^2=a^{2x}+2+a^{-2x}$
$=a^{2x}-2+a^{-2x}+4=(a^x-a^{-x})^2+4$
となります。逆の場合も、
$(a^x-a^{-x})^2=a^{2x}-2+a^{-2x}$
$=a^{2x}+2+a^{-2x}-4=(a^x+a^{-x})^2-4$
となり、$a^x+a^{-x}$ か $a^x-a^{-x}$ のどちらかの値がわかれば他方の(2乗の)値は求められるのです。
解答の式変形とは少し違いますが、なかみは同じです。
2次方程式の解α、βについてαーβの値を求めるときにも同じテクニックを使います。
$(\alpha -\beta)^2=(\alpha +\beta)^2-4\alpha \beta$
高校入試の練習でやらなかったですか。
これで大丈夫ですか?コメント欄に返事を書いてください。よろしく。
そういうことだったんですか!最後の方の問題だったので難しく考えすぎていたみたいです。ありがとうございます!!
お役に立てたならよかったです。