極限

なぜこうなるのかわかりません。 教えてください

cafe-noaさん、こんにちは。久しぶりですね！ これはグラフの漸近線を調べているところですかね。 ２つの分数に分けたら、後ろのは問題ないですよね。（$\log x \rightarrow \infty $ だから） 問題になるのは $\dfrac{\log x}{x}$ の部分です。 これは、極限のちょっと高度なものを解くときには、できれば常識になってほしいのですが、 ｘ→∞のときの「発散の程度」がlogx＜$x^p<x^q<a^x$ (p<q,a>1) なのです。 これを知っていたら、$\dfrac{x^3}{\log x}$ とか、$\dfrac{2^x}{x^{1000}}$ とか、その逆数なんかのｘ→∞の極限は一発で答えて大丈夫なのです。 それぞれのグラフの概形を考えても納得できるかと思いますが、ちゃんと納得するには証明を読むのが一番です。 $x=e^t$ で変数変換すると、$\dfrac{\log x}{x}=\dfrac{t}{e^t}$ で、ｘ→∞のときｔ→∞ また、ｔが充分大きい時（ｔ＞２くらいとすれば証明が楽）$t<2^t$ （これは$y=2^t-t$ の増減表を書けば証明できますのでやってみて） すると、$\dfrac{t}{e^t}<\dfrac{2^t}{e^t}=\left(\dfrac{2}{e}\right)^t$ $\dfrac{2}{e}<1$ だから、ｔ→∞のとき $\left(\dfrac{2}{e}\right)^t \rightarrow 0$ よって……あとはお任せしていいですか？ これで大丈夫ですか？わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。よろしく。