三角関数の積分と極限

(2)が分かりません。u=x-π/3 とおいて x→π/3のとき、u→0として 分母は(x-π/3)(x^2+(π/3)x+π^2/9)となってuに書き直すとu(u^2+πx+π^2/3) 分子は∫(1+tanθ)^2dx=tanθ-2log(cosθ)+Cより [π/3，u+π/3]で定積分してtan(u+π/3)-2log(cos(u+π/3))-√3-2log2 =(√3+tanu)/(1-√3tanu) -2log{(1/2cosu)+√3/2sinu)}-√3-2log2 ※ご指摘の通りlogの部分を訂正しました。 ここからどうしていいか分かりません。ここまでも合ってるか分かりません。lim(tanθ/θ)θ→0 =1を使うような気がしてますが上手く変形できません。長文になってすみません。よろしくお願いします。

こんばんは。 まだ回答できません。 分母はｘの式だから積分の外に出して、それ以外のｔによる積分まではあなたの結果とほぼ同じです。 私はｕに置き換えず、そのままｘで計算しました。 あなたと違っているのは、$\log(\cos x)$ のところです。 その直前で私は$\log(1+\tan^2 x)$ になったので、$-2\log(\cos x)$ なのです。 もう一度確認してみますね。 あなたの書いた式で、$u+\frac{\pi}{3}$ が出てきていますが、そこはもうｘに戻してもいいのじゃないかなぁ。加法定理を使わずに。 でもそのあとの極限をどうやって求めるのかは私もまだわかっていません。 (追記　3/10　08:35） やっとわかりました、っていうか、どうして気がつかなかったんだろう、というレベルです。 外にだした３乗ひく３乗を因数分解して、$(x-\dfrac{\pi}{3})$ だけを定積分した結果の式の分母にすると、そこには ｘ＝π/3における微分係数を求める式が２種類現れますね！！ $\dfrac{\tan x-tan \frac{\pi}{3}}{x-\frac{\pi}{3}}$ と　$\dfrac{\log( \cos x)-\log (\cos\frac{\pi}{3}) }{x-\frac{\pi}{3}}$ ×２が！！！ これらは、$f(x)=\tan x$ と$g(x)=\log(\cos x)$のｘ＝π/3における微分係数を求める式ですので、あとはヨンソさんなら大丈夫ですね。 結果を見て、さらに重要なことに気がつきました。 $$\int_{\frac{\pi}{3}}^x \dfrac{f(t)}{x-\frac{\pi}{3}}=\dfrac{F(x)-F(\frac{\pi}{3})}{x-\frac{\pi}{3}} \rightarrow F'(\frac{\pi}{3})=f(\frac{\pi}{3})$$ つまり、積分なんかしなくてもよかったのです。これに気づくかどうかが勝負の分かれ目？ これでどうですか？コメント欄に返事を書いてください。よろしく。