集合論について

カントールのパラドクスを導く際ベルンシュタインの定理を用いることがあります　松坂和夫集合位相のベルンシュタインの定理の証明を見てみるとペアノシステムの存在を仮定しているように見えます　素朴内包公理からペアノシステムの存在は導くことができるのでしょうか？ なお素朴内包公理の矛盾を用いないものとします　もし矛盾を用いるとカントールのパラドクスの証明は循環論法となってしまうため