水平、垂直な接線

このa)の問題で水平漸近線、垂直漸近線を求めよとあり、まずは微分をしたく類似の問題があり参考にして微分したのですがこの3行目から4行目にかけての動きがよくわからずぜひ解説いただきたいです 次の質問は垂直漸近線(HA)な接線を求めるため＝0の形で求めよありこれは分母と分子分けて計算するものなんでしょうか また水平漸近線(VA)な接戦を求める際極限を使って求めるとありこの場合の求め方がこの解き方で合っているのか疑問です、DNEは存在しないを表します よろしくお願いいたします

こんにちは。そちらはこんばんはですね。 ３行目から４行目 とにかく分母に持ってこられる $x^{-\frac{2}{3}}$ をくくりだそうとしたのですね。 そのために $x^{\frac{1}{3}}$ のほうに無理やり$x^{-\frac{2}{3}}$ を作ります。 $x^{\frac{1}{3}}=x^{-\frac{2}{3}+1}=x^{-\frac{2}{3}}\cdot x$ これで$x^{-\frac{2}{3}}$ をくくりだせます。くくりだした後にはｘが残ります。 そのあとの考えはそれでいいですね。 x→∞のときは確かにf'(x)→０にならず発散してしまうので水平な接線はないですね。ただこのやり方では存在するか否かが解りますが、その直線の方程式はわかりません。 ｘ→０のときは、確かにf'(x)→∞になりますが、これは漸近線とは言えないんじゃないかな。直線ｘ＝０に漸近していません。 でも……… 水平な漸近線も垂直な漸近線も、微分はしなくても求まります。 （微分でも求まるのですね。日本の高校数学では以下のように考えることが多く、微分しません。） 水平な漸近線は$ \lim_{x\rightarrow \infty} f(x)$ や$ \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)$ を調べて、ある値αになるならば、y=αが水平な漸近線です。この問題ではｘ≧０に限られていますので（分数の指数を使う時は底≧０という暗黙の了解があります）、$ \lim_{x\rightarrow \infty} f(x)$ のほうだけ調べますが、これは無限大に発散してしまうので、水平な漸近線はありません。 また、垂直な漸近線は $x \rightarrow a$ のとき $f(x) \rightarrow \infty$ や$f(x) \rightarrow -\infty$ になるときですから、分数の形をしている関数で、分母が０となるようなとき、垂直な漸近線 $x=a$　が存在することが解りますが、この関数はもともと分数の形ではないので、垂直な漸近線もありません。 形はこれです↓　コピーしてそのページを見てください。 https://ja.wolframalpha.com/input?i=y%3Dx%5E%281%2F3%29+%28x-4%29 ｘ→０でf '(x)が無限になるのですが、グラフから見てもｙ軸は漸近線ではないですね。 ======================追記(3/20 18:50)========================== 新しい写真をもとに書きます。 なんかちょっと変なことしてますね？ ２行目で分母分子になにかかけていますが、それをしても分子はきれいにはならないです。分子に$x$ は出てきません。分子のｘは$x^{\frac{2}{3}}$ です。そこは間違い。 でもそんなことをしなくても極限は出ます。 ｘ→∞のとき、$x^{\frac{1}{3}}\rightarrow \infty ,x-4 \rightarrow \infty$ ですから、変形しなくても無限大に発散することは解ります。垂直な漸近線がないことは、分母が０になることがない（そもそも分母がない）ことから解ります。 それから定義域がｘ≧０に限られているので、ｘ→ー∞は考えなくていいと思います。 分数の指数が出てくるときは、数学的に無理なのです。例えば$(-8)^{\frac{1}{3}}$ はー２ですが、これを$(-8)^{\frac{2}{6}}$ と考えると、マイナスの数の偶数乗根はないので、これは値がありません。こうなると$dfrac{1}{3}$ と$\dfrac{2}{6}$ が同じではない世界になってしまい、矛盾になります。こんなことが起こるので分数乗を使う時はｘ≧０という定義域がつくのです。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝以上＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ コメント欄に返事を書いてください。