確率の証明の問題です。

袋に白い玉と黒い玉、それぞれ16個と2個が入っているとする。もし18人の学生が袋から順番に玉を一つずつ取り出す時黒い玉を取り出すためには何番目に取り出す学生が有利か？（ただし、一回取り出した玉はもう一度袋にいれない。） 答えは取り出す順番とは関係なしに確率は2/18=1/9になる。と書いてあるのですが、この答えまでの過程と確率を証明しなければいけません。 どなたか教えていただけると嬉しいです；；

こんばんは。初めての方ですね。よろしく。 では、証明してみますね。 ｎ番目の学生が黒を取るということは、２つの事象の和になります。 Ａ…(n-1)番までには黒が取られないで、ｎ番目が黒を取る Ｂ…(n-1)番までに黒が１個取られ、ｎ番目が黒を取る まずＡの確率を求めます。 (n-1)番までには黒が取られない確率は $\dfrac{16}{18}\cdot \dfrac{15}{17} \cdot \dfrac{14}{16}\cdots\dfrac{16-(n-3)}{18-(n-3)}\cdot \dfrac{16-(n-2)}{18-(n-2)}$ そしてｎ番目に黒だから $\dfrac{2}{18-(n-1)}$ よってＡの起こる確率は　 $\dfrac{16}{18}\cdot \dfrac{15}{17} \cdot \dfrac{14}{16}\cdots \dfrac{16-(n-3)}{18-(n-3)}\cdot \dfrac{16-(n-2)}{18-(n-2)}\cdot \dfrac{2}{18-(n-1)}$ $=\dfrac{16}{18}\cdot \dfrac{15}{17} \cdot \dfrac{14}{16}\cdots\dfrac{19-n}{21-n} \cdot \dfrac{18-n}{20-n}\cdot \dfrac{2}{19-n}$ $=\dfrac{2(18-n)}{18\cdot 17}=\dfrac{18-n}{9\cdot 17}$ …① 次にＢの確率を求めます。 (n-1)人の誰が黒を取るかで(n-1)通りあり、そのそれぞれが起こる確率は、分母・分子の順は変わるけれど、分子には2と16,15,14,…,16-(n-3)が来て、分母は18,17,16,…,18-(n-3),18-(n-2)がくるので、約分して $\dfrac{2(19-n)}{18\cdot17}$ そしてｎ番目に黒だから $\dfrac{1}{18-(n-1)}$ よってＢが起こる確率は$(n-1)\cdot\dfrac{2(19-n)}{18\cdot17}\cdot \dfrac{1}{18-(n-1)}$ $=\dfrac{n-1}{9\cdot17}$…② 以上より、ｎ番目の学生が黒を取る確率は①＋②で $\dfrac{18-n}{9\cdot 17}+\dfrac{n-1}{9\cdot17}=\dfrac{1}{9}$ となり、ｎによらず常に$\dfrac{1}{9}$ である！！ ま、そうでないと、くじ引きの順番争いが起きてしまいますよね。 これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。 それがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわかりませんので。２回目以降もそのようにお願いしますね。よろしく。