NEWACTION LEGEND 数Ⅱ+B 例題54　高次方程式が有理数解を持たないことの証明

解答のうち線を引いた二ヶ所がわかりません。 pは1以上の他の整数で良いような気がするのですがなぜここでp=1に定まるのでしょうか 初めての質問でいたらない点があったらすみません。 よろしくお願いします。

こんばんは。初めての方ですね。よろしく。 なるほど、この解答はちょっと言葉が抜けていますね。 少し言葉を変えて書き直してみます。 $q^3=-2p(q^2+p^2)$ よって$q^3$ は$p$ の倍数。つまり$p$ は$q^3$ の約数（$p$ は$p$ と$q^3$ の公約数）。 また$p$ と$q$ は互いに素（公約数は±１のみ）だから$p$ は$q$ の約数（$p$ は$p$ と$q$ の公約数）。 よって$p$ は±１の可能性があるが、$p>0$ より $p=1$ 。 これじゃ微妙かな？ 解答ではｐがｑの約数になっていることを述べずに、ｐとｑの公約数は±１なんだから、という方だけを書いてます。 あとのほうも同じようで、$p$ が $q'$ の(公)約数であることを書かずに進めているので、分かりづらいですね。 とにかく、$p$ が $q'$ あるいは $q$ の約数になっていて、しかも $p$ と $q'$ あるいは $q$ の公約数が±１という仮定があり $p\geqq1$なので$p$ は１にならざるをえない、と言ってますね。 これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。それがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわかりませんので。よろしく。２回目以降も同様です！