一橋大学積分

不等式の変形が分かりません

こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 解答のない問題集ですか？学校の課題でしょうか？ 方針は,任意のｘに対して$-1\leqq \sin x \leqq 1$であることを使います。 不等式の真ん中の辺を、三角関数の合成を使って１つにします。 すると$-2\leqq \sqrt{x^2+y^2} \sin (\theta + \alpha) \leqq y+1$ となり、しかも$ -1 \leqq \sin (\theta + \alpha) \leqq 1 $ です。 すると、$-\sqrt{x^2+y^2} \leqq \sqrt{x^2+y^2} \sin (\theta + \alpha) \leqq \sqrt{x^2+y^2} $ だから、 $-2 \leqq-\sqrt{x^2+y^2} \leqq \sqrt{x^2+y^2} \sin (\theta + \alpha) \leqq \sqrt{x^2+y^2} \leqq y+1$ $-2 \leqq-\sqrt{x^2+y^2} $ を整理すると、$x^2+y^2 \leqq 4$ という円の内部になりますよ。 次に、$\sqrt{x^2+y^2} \leqq y+1$ を整理してまとめると、$y \geqq \frac{1}{2} x^2 -\frac{1}{2} $ という放物線の上側になります。ただし$y+1 \geqq 0$ の範囲ですが、これは満たしています。 不等式の処理はここまで。あとは定積分の問題になりますので、お任せします。 もちろん、途中や、積分で質問があれば、コメント欄に返事を書いてください。あ、これで分かった場合でも、コメント欄に「わかった」とでも書いてください。 次、（２）です。 これはαとβですから合成というわけにはいきませんね。 αもβもお互いに無関係に動くので、結局$\cos \alpha ,\sin \beta$ はかってにー１から１までの値を動きます。 じゃ、$x^2 \cos \alpha +y \sin \beta $がもっとも小さくなるのは$\cos \alpha =-1$ で、かつｙが正なら$\sin \beta =-1$、ｙが負なら $\sin \beta =1$ のときです。もっとも大きくなるのは$\cos \alpha =1$ で、かつｙが正なら$\sin \beta =1$、ｙが負なら $\sin \beta =-1$ のときです。よってこんな式にまとめられます（あ、まとめなくても、場合分けでもできます）。 $-x^2-|y| \leqq x^2 \cos \alpha +y \sin \beta \leqq x^2+|y| $ これより$-1 \leqq -x^2-|y| \leqq x^2 \cos \alpha +y \sin \beta \leqq x^2+|y| \leqq 1$ $-1 \leqq -x^2-|y| $ であればいいので、$x^2-1 \leqq y \leqq -x^2+1$ ２つの放物線に囲まれた部分ですね。 また、$x^2+|y| \leqq 1$ は上と同じになり、新しい情報は得られません。 よって$x^2-1 \leqq y \leqq -x^2+1$　が範囲。あとは定積分。 やりとりしながら解決のお手伝いをします。 これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。それがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわかりませんので。よろしく。２回目以降もです。