このサイトはお使いのブラウザでは正常に動作しません。Google Chromeなど、別のブラウザを使用してください。
導関数の定義を利用した問題ですが・・・
f(x)=e^x+e^-x/2=0（つまりcoshxです）で、y=f(x)上の点（a,f(a)) (a≠0)における法線をＬ(a)とします。
L(a)とL(a+h)の交点のｘ座標をX(h)とすると、X(h)をa,h,f(a),f(a+h),f '(a),f '(a+h)で表し、またlim(h→0)X(n)をa,e^a,e^-aで表しなさい。
1987防衛大の問題ですが、X(n)の式は出ますが、そこからの極限の式の変形が分かりません。
略解では、-f ''(a)/{f '(a)^2}(x-a)=f '(a)+1/f '(a) を利用するとありますが、これがどこから出てきた式か説明が全くありませんのでL(a)の微分かな？とか想像の範疇を越えません。それがわかったにせよ、それをX(n)にどう当てはめるのかがわかりません。
ご教示お願いします。
回答
こんにちは。書き換えました。
初めての方ですね。よろしく。
さすが防衛大学校なんていっては悪いですが、（１）の答もそうですが、なんかあまり数学的ではないですね（偏見かも。すみません）。
全部キーボードから入れるのは大変なので、写真でアップしました。見にくくてすみませんが。
訂正です。１枚目の写真の下から３行目の中カッコのなか、f(a)ではなくf '(a)の書き間違いです。
けっきょく、はじめの方の”ヒント”はどこで使うのか分かりませんでした。
これで大丈夫ですか？コメント欄に返事を書いてください。２回目以降も同様におねがいしますね。
X(n)の式と略解の画像を掲載します。略解の下部分に続きがあり、「f ''(a)=f(a)を利用」です。これはf(x)が双曲線関数ですので、判るのですが。この2つの式の利用方法が、特に前者のほうが思いつかないです。 X(n)= a+{f(a+h)-f(a)+h/f '(a+h)}/{1/f '(a+h)-1/f '(a)} こちらは式を根性でグリグリやってたら出てくるんですけどね。
アップありがとうございます。ところで写真の最後、「と」の後ろは何があるのですか？ となる？左辺にはxがあって右辺にはない式がイコールでつながっているから、どれか元の式があるのかも。
「と」の後ろには「f ''(a)=f(a)を利用」が付きます。 この問題には（２）と書いてあることから（１）があり、（１）はL(a)の方程式を求めよ、で解答は L(a): y=｛-2/(e^a-e^-a)｝(x-a)+(e^a+e^-a)/2
ありがとうございます。分子分母にhを入れる所までいっても、f(x)の逆数関数を導関数の定義で処理するのに手間取ってました。 ただ、解答のあの式の利用は本当に謎です。2階微分のほうは利用しないと解けないのはわかってましたが。
そうですね、変な式ですものね。お役に立てたならよかったです。またどうぞ。