この証明は高校数学の範囲でできますか？数1 数と式

①有理数は整数,有限小数,循環小数のいずれかになる。②逆に整数,有限小数,循環小数は分数で表すことができ有理数である。 ①の証明って教科書の文章で証明になりますか？ ②の証明って高校数学の範囲内でできますか？いきなり逆も成り立つと出てきました。 あとなぜaとｂを正の整数に限定しているのでしょうか？

こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 ①は立派に証明になっていますね。 有理数の定義は $p=\dfrac{a}{b}$ （ただし、ａは整数、ｂは正の整数）と表される数です。 ｐが整数にならないときは、とりあえず分数ですが、それを小数に直そうとしたら有限で割り切れるか、さもなければ小数は循環してしまうことを示したので、整数、有限小数、循環小数しかないですね。循環しない無限小数は有理数ではないということです。 ②整数、有限小数、循環小数が、とにかく$p=\dfrac{a}{b}$ （ただし、ａは整数、ｂは正の整数）と表されることを示せばいいです。ｐがもともと整数なら $p=\dfrac{p}{1}$ と書けますので有理数だということが示せます。。ｐが有限小数なら 、$p=\dfrac{p}{1}$ と書いた後、分母分子を必要に応じて$10^n$ 倍して分子を整数にすれば、$p=\dfrac{a}{b}$ （ただし、ａは整数、ｂは正の整数）となりますからやはり有理数ですね。最後の循環小数を分数に方法はあります。習っていますか？ 習ってなければ、「循環小数を分数になおす」で検索すればたくさん出てきますから、そちらを読んでください。たとえば https://univ-juken.com/junkan-shosu の下の方に例題があります。 ということで、逆も成り立ちます。 最後の質問はもっともです。その印刷物で、なぜａ，ｂともに正といっているのかわかりません。それより前になにか条件でもあるのかな？一般的には、すでに書いたように、 有理数の定義は $p=\dfrac{a}{b}$ （ただし、ａは整数、ｂは正の整数） と表される数です。 これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。それがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわかりませんので。よろしく。以降も同様にね。