漸化式

⑶がわからないです。

こんばんは。 その漸化式は、$a_{n+1}-a_n=$ とすれば、階差数列が与えられているので、 $a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{4k^2-1}$ を計算すればいいのですが、この $\sum $が計算できません。 そこで、「部分分数に展開する」という方法を使います。部分分数をご存じなければネットで検索してみてください。 $ \dfrac{1}{4n^2-1}=\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{1}{2} \Bigl( \dfrac{1}{2n-1} - \dfrac{1}{2n+1} \Bigr)$ のように分解できます。 この状態でシグマを計算すれば、 $ \sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{4k^2-1}=\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{2} \Bigl( \dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1} \Bigr)=\dfrac{1}{2} \Bigl( \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\cdots \Bigr)$以下略しますが、最後が $\cdots +\dfrac{1}{2n-3}-\dfrac{1}{2n-1}$となり、途中がほとんど打ち消しあって消えて、 $\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2n-1}$ だけが残ります。これに先頭の $a_1$ を加えれば、ｎ≧２のときの$a_n$ が求まります。整理して簡単にします。 n=1のときもそれが成り立つことを言って終了。 これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。それがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわかりませんので。よろしく。