初等整数論です。

いくつか問題があったのですが、以下の2つの証明問題がわかりません。英字はすべて整数です。 ①[0≦r＜bかつ0≦r'＜b ⇒ |r'−r|＜b] ②[b|r, |r|<|b| ⇒ r=0] がわかりません。b|rはbはrの約数であること、|a|はaの絶対値であることを示しています。

こんばんは。初めての方ですね。よろしく。 ① $ r'<b$ より両辺から$r$を引いて $r'-r<b-r $ また、$r>0$だから $b-r<b$ よって $r'-r < b$ …③ 同様にして、$ r'<b$ の両辺から $r'$ を引いて $r-r'<b-r' $ また、$r'>0$ だから $b-r'<b$ よって $r-r' < b$ $-(r'-r)<b$ $r'-r>-b$　…④ ③④より　$-b<r'-r<b$ よって $|r'-r|<b$ ②　(4/14 00:20 書き直しました。） $b|r \rightarrow r=kb$ (k∊ℤ） 絶対値をとって　$|r|=|kb|=|k| |b| \geqq |k| |r|$ $|r| \neq |b|$ だから、等号はk=0のときのみ成立する よって　$|r|\geqq |k||r|$ $|r| \neq 0$ とすると両辺を$|r|$ で割れて、 $ 1 \geqq |k|$ これより $k=0,\pm 1$ $k=0$ のとき、$r=kb$より$r=0$ となって$|r| \neq 0$ に矛盾 $k= \pm 1$ のとき、$|r| \geqq |r|$ すなわち 等号が成立するが、これは等号成立条件と異なり矛盾 よって $|r|=0　すなわち　r=0$ こんなのでどうでしょうか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。それがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわかりませんので。よろしく。２回目以降も同様です。