Nの数列がある意味特別であることの証明

「Iを有向集合としたとき、順序を保つ写像f:N→Iが存在して ∀i∈I∃n∈N(i≦f(n))を満たす」と言う問題を考えたんですが、 どっから手をつけていいか分かりません。 とりあえずIが有向集合じゃなくて全順序で成り立つことと同値ってことは証明できたんですが…… (極大な全順序部分集合を取ってくる)。 えっと、選択公理を仮定しても良い(「極大な全順序部分集合を取ってくる」から分かりますが、)のでどなたか証明していただけないでしょうか……